Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

I. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực là một khái niệm quan trọng trong toán học, mở rộng khái niệm lũy thừa nguyên dương và lũy thừa phân số. Cho số thực a và số thực α, ta gọi a^α là lũy thừa của a với số mũ α. a được gọi là cơ số, α được gọi là số mũ.

Định nghĩa: Với a > 0 và α là số thực bất kỳ, lũy thừa a^α được định nghĩa là số duy nhất thỏa mãn:

• a⁰ = 1
• a^α = e^αln(a)

Lưu ý: Định nghĩa này chỉ áp dụng khi a > 0. Khi a ≤ 0, lũy thừa với số mũ thực không phải lúc nào cũng có nghĩa.

II. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

1. Lũy thừa của một tích: (ab)^α = a^αb^α (với a > 0, b > 0)
2. Lũy thừa của một thương: (a/b)^α = a^α/b^α (với a > 0, b > 0)
3. Lũy thừa của một lũy thừa: (a^β)^α = a^βα (với a > 0)
4. Lũy thừa với số mũ 0: a⁰ = 1 (với a ≠ 0)
5. Lũy thừa với số mũ 1: a¹ = a (với a > 0)
6. Lũy thừa với số mũ -1: a^-1 = 1/a (với a ≠ 0)

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính 2^1.5

Ta có: 2^1.5 = 2^3/2 = √(2³) = √8 = 2√2

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức (3²)^1/2

Ta có: (3²)^1/2 = 3^2*(1/2) = 3¹ = 3

IV. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính 5^2.3

Bài 2: Rút gọn biểu thức (4^1/2)³

Bài 3: Giải phương trình 2^x = 8

V. Ứng dụng của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật, bao gồm:

• Tài chính: Tính lãi kép
• Vật lý: Mô tả sự phân rã phóng xạ, sự tăng trưởng dân số
• Hóa học: Tính tốc độ phản ứng
• Thống kê: Phân tích dữ liệu

Kết luận: Bài học về lũy thừa với số mũ thực cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến lũy thừa. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của lũy thừa với số mũ thực sẽ giúp các em học tốt môn Toán và áp dụng kiến thức vào thực tế.