Bài 6.7 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 6.7 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 6.7 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của hàm số. Bài tập này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về khái niệm đạo hàm mà còn rèn luyện kỹ năng giải toán và tư duy logic.

Nội dung bài tập 6.7 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài tập 6.7 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
3. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Giải chi tiết bài tập 6.7 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)

Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức:

f'(x) = d/dx (x³ - 3x² + 2) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):

f''(x) = d/dx (3x² - 6x) = 6x - 6

Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.

Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là:

• f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
• f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

Vậy, hàm số có điểm cực đại là (0, 2) và điểm cực tiểu là (2, -2).

Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x), ta có thể xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:

• f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
• f'(x) < 0 khi 0 < x < 2, vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

Kết luận

Thông qua việc giải chi tiết bài tập 6.7 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức, chúng ta đã nắm vững các bước thực hiện để tìm đạo hàm, điểm cực trị và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bài tập này là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận các bài toán phức tạp hơn về đạo hàm trong chương trình Toán 11.

Ví dụ minh họa thêm

Để hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm, ta có thể xét một ví dụ thực tế. Giả sử một vật thể chuyển động theo hàm số s(t) = t² + 2t, trong đó s(t) là quãng đường vật thể đi được sau thời gian t. Khi đó, đạo hàm s'(t) = 2t + 2 biểu thị vận tốc của vật thể tại thời điểm t. Việc tìm đạo hàm và phân tích dấu của đạo hàm giúp ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của vận tốc theo thời gian.

Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức hoặc tìm kiếm các bài tập trực tuyến. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi làm bài kiểm tra.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 6.7 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!