Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 30 trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của lý thuyết xác suất: công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập. Hiểu rõ công thức này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế liên quan đến xác suất.

1. Biến cố độc lập là gì?

Trước khi đi vào công thức, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm biến cố độc lập. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Công thức toán học để kiểm tra tính độc lập của hai biến cố là: P(A ∩ B) = P(A) * P(B). Nếu phương trình này đúng, thì A và B là độc lập.

2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập được phát biểu như sau:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B) là xác suất của biến cố B.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt hai lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện của lần gieo thứ nhất là số chẵn và mặt xuất hiện của lần gieo thứ hai là số lẻ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện của lần gieo thứ nhất là số chẵn”. P(A) = 3/6 = 1/2
• Gọi B là biến cố “mặt xuất hiện của lần gieo thứ hai là số lẻ”. P(B) = 3/6 = 1/2
• Vì hai lần gieo xúc xắc là độc lập, nên P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ”. P(A) = 5/8
• Gọi B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ (sau khi đã lấy một quả bóng đỏ)”. P(B|A) = 4/7 (xác suất có điều kiện)
• Vì đây không phải là hai biến cố độc lập (việc lấy quả bóng thứ nhất ảnh hưởng đến xác suất lấy quả bóng thứ hai), ta sử dụng công thức P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 5/14

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Một đồng xu được tung hai lần. Tính xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp.
2. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Sau đó, trả lại quả bóng vào hộp và lấy tiếp một quả bóng nữa. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.
3. Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn ba phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu cả ba lần.

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng công thức nhân xác suất, điều quan trọng là phải xác định đúng xem hai biến cố có độc lập hay không. Nếu hai biến cố không độc lập, ta cần sử dụng công thức xác suất có điều kiện.

6. Kết luận

Bài 30 đã cung cấp cho chúng ta kiến thức cơ bản về công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập. Việc nắm vững công thức này và biết cách áp dụng vào các bài toán thực tế là rất quan trọng trong việc học tập và nghiên cứu về lý thuyết xác suất.

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!