Bài 6. Cấp số cộng

Bài 6. Cấp số cộng - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

1. Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi vào số hạng đứng trước nó. Số không đổi đó được gọi là công sai của cấp số cộng, thường ký hiệu là d.

Công thức tổng quát của cấp số cộng:

• u_n = u₁ + (n - 1)d (Số hạng thứ n)
• S_n = n/2 * (u₁ + u_n) (Tổng n số hạng đầu tiên)
• S_n = n/2 * [2u₁ + (n - 1)d] (Tổng n số hạng đầu tiên - công thức khác)

2. Các tính chất của cấp số cộng

Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng:

• Nếu u_n = u_m thì u_n+k = u_m+k với mọi số nguyên k.
• Nếu u_n = 0 thì u_n+kd = 0 với mọi số nguyên k.

3. Các dạng bài tập thường gặp về cấp số cộng

3.1. Xác định số hạng tổng quát và công sai

Dạng bài tập này yêu cầu bạn xác định công sai d và số hạng đầu tiên u₁ của cấp số cộng dựa trên các thông tin đã cho. Sau đó, bạn có thể sử dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d để tìm số hạng tổng quát.

3.2. Tính tổng các số hạng của cấp số cộng

Để tính tổng các số hạng của cấp số cộng, bạn có thể sử dụng công thức S_n = n/2 * (u₁ + u_n) hoặc S_n = n/2 * [2u₁ + (n - 1)d]. Quan trọng là bạn cần xác định đúng số lượng số hạng n, số hạng đầu tiên u₁ và số hạng cuối cùng u_n.

3.3. Tìm số hạng hoặc số lượng số hạng khi biết tổng

Trong một số bài toán, bạn có thể được yêu cầu tìm số hạng hoặc số lượng số hạng của cấp số cộng khi biết tổng của nó. Trong trường hợp này, bạn cần sử dụng các công thức liên quan đến tổng của cấp số cộng và giải phương trình để tìm ra giá trị cần tìm.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu tiên u₁ = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng.

Giải:

Sử dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d, ta có:

u₁₀ = 2 + (10 - 1) * 3 = 2 + 9 * 3 = 2 + 27 = 29

Vậy số hạng thứ 10 của cấp số cộng là 29.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu tiên u₁ = 1 và công sai d = 2. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Giải:

Sử dụng công thức S_n = n/2 * [2u₁ + (n - 1)d], ta có:

S₂₀ = 20/2 * [2 * 1 + (20 - 1) * 2] = 10 * [2 + 19 * 2] = 10 * [2 + 38] = 10 * 40 = 400

Vậy tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là 400.

5. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về cấp số cộng, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. Bạn có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như toan9.edu.vn.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số cộng. Chúc bạn học tốt!