Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Trong chương VIII của sách Toán 11 Kết nối tri thức tập 2, chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu về các quy tắc tính xác suất. Một trong những nội dung quan trọng nhất của chương này là tìm hiểu về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Đây là những khái niệm nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn.

1. Biến cố hợp

Biến cố hợp của hai biến cố A và B (ký hiệu là A ∪ B) là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B) là xác suất của biến cố hợp A ∪ B
• P(A) là xác suất của biến cố A
• P(B) là xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B

2. Biến cố giao

Biến cố giao của hai biến cố A và B (ký hiệu là A ∩ B) là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra. Nói cách khác, A ∩ B chỉ xảy ra khi cả A và B đồng thời xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố giao:

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu A và B không độc lập thì:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B
• P(A) là xác suất của biến cố A
• P(B) là xác suất của biến cố B
• P(B|A) là xác suất của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra
• P(A|B) là xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra

3. Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Nói cách khác, A và B độc lập nếu:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu hai biến cố A và B độc lập, thì việc tính xác suất của biến cố hợp và biến cố giao trở nên đơn giản hơn.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt một lần. Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện là số chẵn” và B là biến cố “mặt xuất hiện là số lớn hơn 3”.

• P(A) = 3/6 = 1/2
• P(B) = 3/6 = 1/2
• A ∩ B là biến cố “mặt xuất hiện là số chẵn và lớn hơn 3”, tức là mặt 4 hoặc 6. P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3
• A ∪ B là biến cố “mặt xuất hiện là số chẵn hoặc lớn hơn 3”, tức là mặt 2, 4, 5 hoặc 6. P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3

Ví dụ 2: Tung hai đồng xu. Gọi A là biến cố “đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt ngửa” và B là biến cố “đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”. Vì kết quả của việc tung đồng xu thứ nhất không ảnh hưởng đến kết quả của việc tung đồng xu thứ hai, nên A và B là hai biến cố độc lập.

Bài tập luyện tập

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.
2. Một người bắn súng vào một bia. Xác suất bắn trúng bia của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng bia cả 3 phát.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Chúc các em học tập tốt!