Bài 8.17 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 8.17 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 8.17 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 8.17 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

Lời giải chi tiết

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)

Để tính đạo hàm f'(x), ta áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm đa thức:

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):

f''(x) = 6x - 6

Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.

Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là:

f(0) = 2

f(2) = 8 - 12 + 2 = -2

Vậy, hàm số có điểm cực đại là (0, 2) và điểm cực tiểu là (2, -2).

Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Ta xét dấu của đạo hàm f'(x):

f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).

f'(x) < 0 khi 0 < x < 2, vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

Kết luận

Thông qua việc giải Bài 8.17, chúng ta đã củng cố kiến thức về đạo hàm, cực trị hàm số và khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Việc nắm vững các kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 11 và các chương trình học nâng cao.

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 8.17 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thêm các bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

Ví dụ minh họa thêm

Để hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị hàm số, chúng ta có thể xét một ví dụ khác:

Cho hàm số g(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1. Hãy tìm các điểm cực trị của hàm số này.

Lời giải:

1. Tính đạo hàm g'(x) = 4x³ - 12x² + 8x.

2. Giải phương trình g'(x) = 0: 4x(x² - 3x + 2) = 0 => 4x(x - 1)(x - 2) = 0. Vậy x = 0, x = 1, x = 2.

3. Tính đạo hàm bậc hai g''(x) = 12x² - 24x + 8.

4. Xác định dấu của g''(x) tại các điểm cực trị:

• g''(0) = 8 > 0, vậy x = 0 là điểm cực tiểu.

• g''(1) = -4 < 0, vậy x = 1 là điểm cực đại.

• g''(2) = 8 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.

Như vậy, hàm số g(x) có điểm cực đại tại x = 1 và hai điểm cực tiểu tại x = 0 và x = 2.