Bài 7. Cấp số nhân

Bài 7. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, công thức và các bài tập minh họa để giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số nhân.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
• Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
• Nếu q = 1: S_n = n.a
• Nếu q ≠ 1: S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q)

3. Các dạng bài tập thường gặp

1. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: Sử dụng công thức u_n = a.q^n-1. Cần xác định a (số hạng đầu tiên) và q (công bội).
2. Tìm công bội của cấp số nhân: Sử dụng công thức q = u_n+1 / u_n.
3. Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: Sử dụng công thức S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q) hoặc S_n = n.a (khi q = 1).
4. Ứng dụng cấp số nhân vào giải quyết các bài toán thực tế: Ví dụ, tính số tiền lãi sau một số kỳ hạn khi gửi tiết kiệm với lãi suất cố định.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải: u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = -2. Hãy tính tổng 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Giải: S₆ = u₁.(1 - q⁶) / (1 - q) = 1.(1 - (-2)⁶) / (1 - (-2)) = (1 - 64) / 3 = -63 / 3 = -21

5. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về cấp số nhân, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

• Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có u₁ = 5 và q = 2.
• Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 3 và q = -1.
• Một người gửi tiết kiệm 10 triệu đồng với lãi suất 6% một năm. Hỏi sau 5 năm người đó nhận được bao nhiêu tiền lãi (giả sử lãi suất không đổi)?

6. Kết luận

Bài 7. Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về cấp số nhân sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán thực tế và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi sắp tới. Hãy luyện tập thường xuyên và đừng ngần ngại tìm kiếm sự giúp đỡ khi gặp khó khăn.