Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

1. Khái niệm hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90°. Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta sử dụng vectơ chỉ phương của chúng. Gọi a và b là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d₁ và d₂. Khi đó, góc φ giữa hai đường thẳng được tính bởi công thức:

cos φ = |a ⋅ b| / (||a|| ⋅ ||b||)

Nếu cos φ = 0, thì φ = 90° và hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

2. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. Tức là:

a ⋅ b = 0

3. Các định lý liên quan đến đường thẳng vuông góc

Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó đều vuông góc với mặt phẳng còn lại.

4. Ứng dụng của kiến thức về đường thẳng vuông góc

Kiến thức về đường thẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học không gian. Ví dụ:

• Xác định góc giữa hai đường thẳng.
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
• Giải các bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai đường thẳng.
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là a = (1; 2; -1) và b = (2; -1; 1). Xác định góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Giải:

cos φ = |a ⋅ b| / (||a|| ⋅ ||b||) = |(1)(2) + (2)(-1) + (-1)(1)| / (√(1² + 2² + (-1)²) ⋅ √(2² + (-1)² + 1²)) = |2 - 2 - 1| / (√6 ⋅ √6) = 1/6

Vậy φ = arccos(1/6) ≈ 80.4°

Bài tập 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương a = (1; 0; 0) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (0; 1; 0). Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Giải:

Vì a ⋅ n = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0, nên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về bài 22, các em nên làm thêm các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Đồng thời, hãy ôn lại các kiến thức liên quan đến vectơ, tích vô hướng và các định lý về đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc trong không gian.

Toan9.edu.vn hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, các em sẽ học tốt môn Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.