Lý thuyết Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Một trong những khái niệm cơ bản và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán là Biến cố hợp và Quy tắc cộng xác suất. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết này, kèm theo các ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ hơn.

1. Biến cố hợp

Định nghĩa: Cho hai biến cố A và B. Biến cố hợp của A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc sáu mặt. A là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn”, B là biến cố “mặt xúc xắc ra số lớn hơn 4”. Khi đó, A ∪ B là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn hoặc số lớn hơn 4”.

Công thức: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B): Xác suất của biến cố hợp A ∪ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao của A và B (biến cố xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra)

2. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc cộng xác suất là công cụ quan trọng để tính xác suất của biến cố hợp. Nó phát biểu rằng xác suất của biến cố hợp bằng tổng xác suất của các biến cố thành phần trừ đi xác suất của biến cố giao của chúng.

Trường hợp 1: Hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập (việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến việc xảy ra của B và ngược lại), thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B). Khi đó, công thức quy tắc cộng xác suất trở thành:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Ví dụ: Tung hai đồng xu. A là biến cố “đồng xu thứ nhất ra mặt ngửa”, B là biến cố “đồng xu thứ hai ra mặt sấp”. A và B là hai biến cố độc lập. Xác suất để ít nhất một đồng xu ra mặt ngửa hoặc mặt sấp là P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.

Trường hợp 2: Hai biến cố không độc lập

Nếu A và B là hai biến cố không độc lập, thì P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B). Khi đó, ta sử dụng công thức tổng quát:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Ví dụ: Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá. A là biến cố “lá bài rút được là lá Át”, B là biến cố “lá bài rút được là lá Cơ”. A và B không phải là hai biến cố độc lập. P(A) = 4/52, P(B) = 13/52, P(A ∩ B) = 1/52. Vậy P(A ∪ B) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13.

3. Mở rộng cho nhiều biến cố

Quy tắc cộng xác suất có thể được mở rộng cho nhiều biến cố. Với n biến cố A₁, A₂, ..., A_n, ta có:

P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n) - ΣP(A_i ∩ A_j) + ΣP(A_i ∩ A_j ∩ A_k) - ... + (-1)ⁿ⁺¹P(A₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ A_n)

4. Bài tập ví dụ

Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải: Gọi A là biến cố “lấy được ít nhất một quả bóng đỏ”. Khi đó, biến cố đối của A là A^c: “lấy được cả hai quả bóng xanh”.

P(A^c) = C₃² / C₈² = 3/28

P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 3/28 = 25/28

5. Kết luận

Lý thuyết Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán về xác suất. Việc nắm vững định nghĩa, công thức và các ví dụ minh họa sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán phức tạp. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề.