Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về các loại hàm số, cách xác định tập xác định, tập giá trị và các tính chất của hàm số.
Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\). Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).
Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng:
Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).
Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).
Bước 3: Chứng minh \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), từ đó kết luận dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và đồ thị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm số, bao gồm tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, cực trị và đồ thị hàm số.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh thực hiện các công việc sau:
Để giải bài tập này, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Xét hàm số y = x2 - 4x + 3.
1. Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
2. Tập giá trị: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2, giá trị nhỏ nhất là y = -1. Vậy tập giá trị là [-1, +∞).
3. Tính đơn điệu: Đạo hàm của hàm số là y' = 2x - 4. y' = 0 khi x = 2. Khi x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến. Khi x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.
4. Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -1.
5. Đồ thị: Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh tại (2, -1) và mở lên trên.
Ngoài các bài tập cơ bản về xác định tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị, Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo còn có thể xuất hiện các dạng bài tập sau:
Để giải Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và đồ thị. Bằng cách nắm vững các khái niệm cơ bản, áp dụng các phương pháp giải bài tập phù hợp và rèn luyện kỹ năng thường xuyên, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Tập xác định | Tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa. |
| Tập giá trị | Tập hợp tất cả các giá trị của y mà hàm số có thể nhận được. |
| Tính đơn điệu | Tính chất của hàm số khi x tăng hoặc giảm. |
| Cực trị | Giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng nào đó. |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
