Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương IX, Thống kê và xác suất của sách Toán 11 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giới thiệu và ứng dụng các khái niệm về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Đây là những kiến thức nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất và giải quyết các bài toán liên quan.

1. Biến cố hợp

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Ký hiệu biến cố hợp là A ∪ B. Để hiểu rõ hơn, ta có thể minh họa bằng sơ đồ Venn. Diện tích biểu diễn biến cố hợp là tổng diện tích của hai biến cố trừ đi diện tích giao của chúng.

2. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc cộng xác suất là công cụ quan trọng để tính xác suất của biến cố hợp. Quy tắc này phát biểu rằng xác suất của biến cố hợp A ∪ B bằng tổng xác suất của biến cố A và xác suất của biến cố B trừ đi xác suất của biến cố giao A ∩ B. Công thức được biểu diễn như sau:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

3. Các trường hợp đặc biệt

• Hai biến cố xung khắc: Nếu hai biến cố A và B không thể xảy ra đồng thời (A ∩ B = ∅), thì chúng được gọi là hai biến cố xung khắc. Trong trường hợp này, P(A ∩ B) = 0 và quy tắc cộng xác suất trở thành: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• Hai biến cố độc lập: Nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B (và ngược lại), thì chúng được gọi là hai biến cố độc lập. Trong trường hợp này, P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một quả bóng đỏ. Khi đó, biến cố đối của A là A^c: lấy được cả hai quả bóng xanh.

P(A^c) = C₃² / C₈² = 3/28

P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 3/28 = 25/28

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt và một đồng xu. Tính xác suất để con xúc xắc ra mặt chẵn và đồng xu ra mặt sấp.

Giải:

Gọi A là biến cố con xúc xắc ra mặt chẵn, B là biến cố đồng xu ra mặt sấp. Hai biến cố A và B độc lập.

P(A) = 3/6 = 1/2

P(B) = 1/2

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 1/2 * 1/2 = 1/4

5. Bài tập áp dụng

1. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi Toán và 8 học sinh giỏi Văn. Có 5 học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất để một học sinh được chọn ngẫu nhiên trong lớp là học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn.
2. Gieo hai con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

6. Kết luận

Bài 2 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.