Bài 2. Cấp số cộng

Bài 2. Cấp số cộng - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.

1. Định nghĩa cấp số cộng

Dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:

• u_n+1 = u_n + d, với mọi n ≥ 1

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm
• d là công sai của cấp số cộng

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (S_n) được tính theo công thức:

S_n = (n/2)(u₁ + u_n) = (n/2)[2u₁ + (n - 1)d]

4. Các tính chất của cấp số cộng

• Nếu u_n = u_m thì u_n+k = u_m+k với mọi số nguyên k.
• Nếu u_n = u_m thì u_n+k + u_m-k = 2u_n với mọi số nguyên k sao cho 1 ≤ k ≤ min(n, m).

5. Ví dụ minh họa

Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 5: u₅ = u₁ + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14
• Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = (5/2)(u₁ + u₅) = (5/2)(2 + 14) = 40

6. Bài tập áp dụng

Hãy giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về cấp số cộng:

1. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có u₁ = 1 và d = 2.
2. Tìm công sai của cấp số cộng có u₂ = 5 và u₅ = 11.
3. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có u₁ = 3 và d = 4.

7. Lời khuyên khi học về cấp số cộng

• Nắm vững định nghĩa và các tính chất của cấp số cộng.
• Luyện tập giải nhiều bài tập để hiểu rõ cách áp dụng công thức.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm giải toán.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số cộng. Chúc bạn học tập tốt!