Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp khó khăn, vì vậy chúng tôi đã biên soạn bộ giải đáp này để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Mục 3 của chương trình Toán 11 tập 1 tập trung vào các kiến thức quan trọng về...
a) Cho điểm (A) ở ngoài mặt phẳng (left( Q right)). Trong (left( Q right)) vẽ hai đường thẳng cắt nhau (a') và (b'). Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng (a) và (b) đi qua (A) và song song với (left( Q right))?
a) Cho điểm \(A\) ở ngoài mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Trong \(\left( Q \right)\) vẽ hai đường thẳng cắt nhau \(a'\) và \(b'\). Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng \(a\) và \(b\) đi qua \(A\) và song song với \(\left( Q \right)\)?
b) Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa \(mp\left( {a,b} \right)\)và \(\left( Q \right)\)?
Phương pháp giải:
Sử dụng các định lí:
‒ Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
‒ Nếu mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(a,b\) cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì \(\left( P \right)\) song song với \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Qua điểm \(A\), ta vẽ được duy nhất một đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(a'\).
Qua điểm \(A\), ta vẽ được duy nhất một đường thẳng \(b\) song song với đường thẳng \(b'\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a\parallel a'\\a' \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a\parallel \left( Q \right)\\\left. \begin{array}{l}b\parallel b'\\b' \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b\parallel \left( Q \right)\end{array}\)
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}a\parallel \left( Q \right)\\b\parallel \left( Q \right)\\a,b \subset mp\left( {a,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow mp\left( {a,b} \right)\parallel \left( Q \right)\)
Cho ba mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\) thoả mãn \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\), \(\left( R \right) \cap \left( P \right) = a\) và \(\left( R \right) \cap \left( Q \right) = b\). Xét vị trí tương đối của \(a\) và \(b\).
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}a \subset \left( P \right)\\b \subset \left( Q \right)\\\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \cap b = \emptyset \)
Vì hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( R \right)\) và không có điểm chung nên \(a\parallel b\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình bình hành có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, tam giác \(SBD\) là tam giác đều. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) di động song song với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và cắt đoạn thẳng \(AC\). Chứng minh các giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp tạo thành một tam giác đều.
Phương pháp giải:
‒ Sử dụng định lí 3: Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau. Nếu \(\left( R \right)\) cắt \(\left( P \right)\) thì cắt \(\left( Q \right)\) và hai giao tuyến của chúng song song.
‒ Sử dụng định lí Thales trong tam giác.
Lời giải chi tiết:
TH1: \(\left( \alpha \right)\) cắt đoạn \(AO\) tại \(I\).
Gọi \(E,F,G\) lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với \(SA,AB,AD\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = FG\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = B{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow FG\parallel B{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AG}}{{AD}} = \frac{{FG}}{{B{\rm{D}}}}\left( 1 \right)\\\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = EF\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SB\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel SB \Rightarrow \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AS}} = \frac{{EF}}{{SB}}\left( 2 \right)\\\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = EG\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SD\end{array} \right\} \Rightarrow EG\parallel SD \Rightarrow \frac{{AG}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AS}} = \frac{{EG}}{{SD}}\left( 3 \right)\end{array}\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{EF}}{{SB}} = \frac{{EG}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{FG}}{{B{\rm{D}}}}\).
Tam giác \(SBD\) đều nên \(SB = SD = BD\).
Do đó \(EF = EG = FG\). Vậy tam giác \(EFG\) đều.
TH2: \(\left( \alpha \right)\) cắt đoạn \(CO\) tại \(J\).
Gọi \(M,N,P\) lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với \(SC,BC,C{\rm{D}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = NP\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = B{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow NP\parallel B{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{CP}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{{NP}}{{B{\rm{D}}}}\left( 4 \right)\\\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SB\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel SB \Rightarrow \frac{{CM}}{{C{\rm{S}}}} = \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{MN}}{{SB}}\left( 5 \right)\\\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = MP\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SD\end{array} \right\} \Rightarrow MP\parallel SD \Rightarrow \frac{{C{\rm{M}}}}{{C{\rm{S}}}} = \frac{{CP}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{{MP}}{{SD}}\left( 6 \right)\end{array}\)
Từ (4), (5) và (6) suy ra \(\frac{{MN}}{{SB}} = \frac{{MP}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{NP}}{{B{\rm{D}}}}\).
Tam giác \(SBD\) đều nên \(SB = SD = BD\).
Do đó \(MN = MP = NP\). Vậy tam giác \(MNP\) đều.
Khi dùng dao cắt các lớp bánh (Hình 11), giả sử bề mặt của các lớp bánh là các mặt phẳng song song và con dao được xem như mặt phẳng \(\left( P \right)\), nêu kết luận về các giao tuyến tạo bởi \(\left( P \right)\) với các bể mặt của các lớp bánh. Giải thích.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí 3: Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau. Nếu \(\left( R \right)\) cắt \(\left( P \right)\) thì cắt \(\left( Q \right)\) và hai giao tuyến của chúng song song.
Lời giải chi tiết:
Bởi vì các lớp bánh là các mặt phẳng song song với nhau nên theo định lí 3, giao tuyến tạo bởi \(\left( P \right)\) và các lớp bánh song song với nhau.
Mục 3 trong SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm của hàm số, ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số và giải các bài toán thực tế. Để giải quyết các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm.
Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong Mục 3, từ trang 109 đến trang 116 của SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo:
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1.
Giải:
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x).
Giải:
g'(x) = cos(x) - sin(x)
Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số h(x) = e^x + ln(x).
Giải:
h'(x) = e^x + 1/x
Đề bài: Cho hàm số y = x^2 - 4x + 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Giải:
y' = 2x - 4. Giải phương trình y' = 0, ta được x = 2. y'' = 2 > 0, vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là y(2) = -1.
Đề bài: Khảo sát hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2x.
Giải:
y' = 3x^2 - 6x + 2. Giải phương trình y' = 0, ta được x = (3 ± √3)/3. Khảo sát dấu của y' để xác định khoảng đơn điệu của hàm số. Tính y'' để xác định điểm uốn của hàm số.
Đề bài: Giải phương trình 2x^3 - 3x^2 + 1 = 0.
Giải:
Phân tích đa thức thành nhân tử: (x - 1)^2(2x + 1) = 0. Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1/2.
Đề bài: Giải bất phương trình x^2 - 5x + 6 > 0.
Giải:
Phân tích đa thức thành nhân tử: (x - 2)(x - 3) > 0. Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 3.
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = -x^2 + 4x - 1 trên đoạn [0; 3].
Giải:
y' = -2x + 4. Giải phương trình y' = 0, ta được x = 2. Tính giá trị của hàm số tại các điểm x = 0, x = 2, x = 3. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Hy vọng rằng bộ giải đáp này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Mục 3 của SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin hơn trong việc giải các bài tập toán học.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
