Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 tại toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu cho từng bài tập trong mục, giúp các em củng cố kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ tối đa cho các em học sinh trên con đường chinh phục môn Toán.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13). a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\). b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \ri
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0\);
b) Giữa hai mặt phẳng \((\alpha ):y - 4 = 0\) và \((\beta ):y + 5 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:
\(d = \left| {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|\)
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 2y + z - 5 = 0\) là:
\({d_A} = \frac{{\left| {2.( - 3) - 2.( - 2) + 1.( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{12}}{3} = 4\)
b) Có thể thấy hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
\(d = \frac{{\left| { - 4 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{1} = 9\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 50 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13).
a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|\). Từ đó, tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định phương của đoạn thẳng từ \({M_0}\) đến hình chiếu \({M_1}\).
- Tính tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\).
- Giải thích mối liên hệ giữa tích vô hướng và độ lớn của các vectơ.
- Từ biểu thức của tích vô hướng và độ lớn của các vectơ, tính được độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_0}\) là khoảng cách từ \({M_0}\) đến mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát:
\(Ax + By + Cz + D = 0,\)
trong đó, \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
\({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng, và \({M_1}({x_1},{y_1},{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) lên mặt phẳng \((\alpha )\). Do \({M_1}\) nằm trên mặt phẳng, ta có:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0.\)
Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) nối từ \({M_0}\) đến \({M_1}\) có dạng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = ({x_1} - {x_0},{y_1} - {y_0},{z_1} - {z_0}).\)
Tích vô hướng của \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) và \(\vec n\) được tính là:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}).\)
Khai triển:
\(A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}) = A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Từ phương trình mặt phẳng, ta biết:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0\)
do đó:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} = - D.\)
Thay vào phương trình tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - D - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Vậy ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D).\)
Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n} \right| = |A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|.\)
b)
Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có:
\(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right| \cdot \cos \theta ,\)
với \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\). Do \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) song song với nhau, nên \(\theta = {0^\circ }\), và \(\cos {0^\circ } = 1\). Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|.\)
Suy ra:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Vậy khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) là:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:
Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh bên bằng 20 cm. Các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?
Phương pháp giải:
- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.
- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.
- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.
- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.
- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.
Lời giải chi tiết:
Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:
\(AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)\)
Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:
\(20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)\)
Đặt gốc toạ độ \(O(0;0;0)\) tại trung điểm của của BC, trục Oy trùng với BC, trục Oy nằm trên đường trung tuyến của điểm A. Từ đó suy ra các toạ độ của tam giác như sau:
\(A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)\)
Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:
\(G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)\)
Gọi h là chiều cao của hình chóp, ta gọi đỉnh hình chóp là S. Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên toạ độ của S sẽ là: \(\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;h} \right)\).
Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:
\(SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}} = 20 = > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\)
\(h = \sqrt {\frac{{400}}{3}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)\)
Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 50 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13).
a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|\). Từ đó, tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định phương của đoạn thẳng từ \({M_0}\) đến hình chiếu \({M_1}\).
- Tính tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\).
- Giải thích mối liên hệ giữa tích vô hướng và độ lớn của các vectơ.
- Từ biểu thức của tích vô hướng và độ lớn của các vectơ, tính được độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_0}\) là khoảng cách từ \({M_0}\) đến mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát:
\(Ax + By + Cz + D = 0,\)
trong đó, \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
\({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng, và \({M_1}({x_1},{y_1},{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) lên mặt phẳng \((\alpha )\). Do \({M_1}\) nằm trên mặt phẳng, ta có:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0.\)
Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) nối từ \({M_0}\) đến \({M_1}\) có dạng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = ({x_1} - {x_0},{y_1} - {y_0},{z_1} - {z_0}).\)
Tích vô hướng của \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) và \(\vec n\) được tính là:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}).\)
Khai triển:
\(A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}) = A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Từ phương trình mặt phẳng, ta biết:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0\)
do đó:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} = - D.\)
Thay vào phương trình tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - D - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Vậy ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D).\)
Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n} \right| = |A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|.\)
b)
Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có:
\(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right| \cdot \cos \theta ,\)
với \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\). Do \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) song song với nhau, nên \(\theta = {0^\circ }\), và \(\cos {0^\circ } = 1\). Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|.\)
Suy ra:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Vậy khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) là:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0\);
b) Giữa hai mặt phẳng \((\alpha ):y - 4 = 0\) và \((\beta ):y + 5 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:
\(d = \left| {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|\)
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 2y + z - 5 = 0\) là:
\({d_A} = \frac{{\left| {2.( - 3) - 2.( - 2) + 1.( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{12}}{3} = 4\)
b) Có thể thấy hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
\(d = \frac{{\left| { - 4 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{1} = 9\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:
Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh bên bằng 20 cm. Các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?
Phương pháp giải:
- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.
- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.
- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.
- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.
- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.
Lời giải chi tiết:
Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:
\(AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)\)
Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:
\(20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)\)
Đặt gốc toạ độ \(O(0;0;0)\) tại trung điểm của của BC, trục Oy trùng với BC, trục Oy nằm trên đường trung tuyến của điểm A. Từ đó suy ra các toạ độ của tam giác như sau:
\(A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)\)
Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:
\(G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)\)
Gọi h là chiều cao của hình chóp, ta gọi đỉnh hình chóp là S. Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên toạ độ của S sẽ là: \(\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;h} \right)\).
Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:
\(SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}} = 20 = > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\)
\(h = \sqrt {\frac{{400}}{3}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)\)
Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 2 tập trung vào việc ôn tập chương trình Giải tích, bao gồm các chủ đề quan trọng như đạo hàm, tích phân, và ứng dụng của đạo hàm và tích phân trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức trong mục này là vô cùng quan trọng, không chỉ để hoàn thành tốt các bài kiểm tra, bài thi mà còn là nền tảng vững chắc cho việc học tập các môn học khác liên quan đến Toán học.
Mục 4 bao gồm một loạt các bài tập với độ khó khác nhau, từ các bài tập cơ bản đến các bài tập nâng cao đòi hỏi tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề. Dưới đây là phân tích chi tiết từng bài tập:
Bài tập này yêu cầu học sinh ôn lại các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm số cơ bản, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm và biết cách áp dụng chúng một cách linh hoạt.
Bài tập này tập trung vào việc ôn tập các kiến thức về tích phân, bao gồm các phương pháp tính tích phân, tích phân không xác định và tích phân xác định, và ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng. Học sinh cần nắm vững các công thức tích phân và biết cách lựa chọn phương pháp tính tích phân phù hợp.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm và tích phân để giải quyết các bài toán thực tế, chẳng hạn như bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài toán tính diện tích hình phẳng, và bài toán tính thể tích vật thể. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần có khả năng phân tích bài toán, xây dựng mô hình toán học, và áp dụng các kiến thức đã học một cách sáng tạo.
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x2 + 4x + 1.
Giải:
f'(x) = -2x + 4
f'(x) = 0 ⇔ -2x + 4 = 0 ⇔ x = 2
f''(x) = -2 < 0, vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 2.
Giá trị lớn nhất của hàm số là f(2) = -22 + 4*2 + 1 = 5.
Việc giải các bài tập trong mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 đòi hỏi sự nắm vững kiến thức, kỹ năng giải quyết vấn đề, và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả mà toan9.edu.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt được kết quả tốt nhất.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
