Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 tại toan9.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến tích phân.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh: \(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)
Đề bài
Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh:
\(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)
a) Viết phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) và tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH.
b) Viết phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) và tính khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
Chiều cao của lăng trụ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này có thể tính bằng cách lấy tọa độ của một điểm thuộc một mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm này đến mặt phẳng còn lại.
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
Vì ABCD.EFGH là hình lăng trụ tứ giác nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((EFGH)\) cũng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\):
\(\overrightarrow {AB} = (0;0;1,5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC} = (0;3;1,5)\)
\(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = ( - 4,5;0;0)\)
Phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) có dạng:
\( - 4,5x + 9 = 0 \Leftrightarrow - x + 2 = 0\)
Chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH cũng chính là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng \((EFGH)\):
\(d = \frac{{\left| { - 1.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{1} = 2\)
Vậy chiều cao của hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH là 2.
b)
Ta có:
\(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \to \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {OE} = (0 - 0 + 2;2,5 - 1 + 1;2 - 2 + 2) = (2;2,5;2)\)
Các điểm thuộc mặt phẳng \((CDHG)\) là \(C(0;4;3.5)\), \(D(0;4;2)\), \(H(2;2,5;2)\).
Tìm hai vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {CD} = (0; - 1,5; - 1,5),\quad \overrightarrow {CH} = (2; - 1;5; - 1.5).\)
Tính tích có hướng của hai vectơ:
\(\vec n = \overrightarrow {CD} \times \overrightarrow {CH} = (0; - 3;3).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec n = (0; - 3;3)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:
\( - 3(y - 4) + 3(z - 3,5) = 0\quad \Rightarrow \quad - 3y + 3z + 1,5 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2y - 2z - 1 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) là \(2y - 2z - 1 = 0\).
Ta có:
\(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AB} \to \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OE} = (0 + 2;0 + 1;1,5 + 2) = (2;1;3,5)\)
Khoảng cách từ điểm \(F(2;1;3,5)\) đến mặt phẳng \(2y - 2z - 1 = 0\) được tính bằng:
\(d = \frac{{\left| {2.1 - 2.3,5 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\) là \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học tích phân. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về tích phân, bao gồm định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân. Bài toán thường yêu cầu tính tích phân xác định của một hàm số trên một khoảng cho trước.
(Đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Tính tích phân I = ∫(0 đến π/2) sin^2(x) dx)
Để giải bài tập này, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp sau:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước biến đổi, áp dụng công thức và kết quả cuối cùng. Ví dụ:)
Sử dụng công thức hạ bậc, ta có:
I = ∫(0 đến π/2) sin^2(x) dx = ∫(0 đến π/2) (1 - cos(2x))/2 dx
I = (1/2) ∫(0 đến π/2) (1 - cos(2x)) dx
I = (1/2) [x - (1/2)sin(2x)] (từ 0 đến π/2)
I = (1/2) [(π/2 - (1/2)sin(π)) - (0 - (1/2)sin(0))]
I = (1/2) * (π/2) = π/4
Vậy, kết quả của tích phân là π/4.
Khi giải bài tập tích phân, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tích phân. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày ở trên, các em học sinh có thể tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
