Giải Bài Tập 5.45 Trang 86 Sgk Toán 12 Tập 2

Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 tại toan9.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về số phức để giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.

Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

Đề bài

Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có

phương trình là

A. \(2x - y - z + 5 = 0\)

B. \(2x - y - z - 5 = 0\)

C. \(x + y + z - 3 = 0\)

D. \(3x + 2y - z - 4 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\({n_1}(x - {x_0}) + {n_2}(y - {y_0}) + {n_3}(z - {z_0}) = 0\)

trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm trong mặt phẳng và \(({n_1},{n_2},{n_3})\) là tọa độ của véc-tơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết

Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:

\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{1 + 5}}{2};\frac{{3 + 1}}{2};\frac{{0 - 2}}{2}} \right) = \left( {3;2; - 1} \right)\)

Véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ:

\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A}) = (5 - 1;1 - 3; - 2 - 0) = (4; - 2; - 2)\)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB. Do đó, véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) cũng là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Vậy, véc-tơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng trung trực là:

\(\vec n = (4, - 2, - 2)\)

Gọi phương trình mặt phẳng trung trực là \(4x - 2y - 2z + D = 0\). Vì mặt phẳng này đi qua trung điểm \(M(3,2, - 1)\), nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng này:

\(4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot ( - 1) + D = 0\)

\(12 - 4 + 2 + D = 0\)

\(10 + D = 0 \Rightarrow D = - 10\)

Vậy, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

\(4x - 2y - 2z - 10 = 0\)

\(2x - y - z - 5 = 0\)

Chọn B

Bứt phá ngoạn mục tại Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán với chiến lược ôn luyện hiệu quả và toàn diện! Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá – nội dung trọng tâm thuộc chuyên mục sgk toán 12 trên nền tảng học toán. Bộ tài liệu toán thpt được biên soạn kỹ lưỡng, bám sát chương trình Toán lớp 12 và cấu trúc đề thi thực tế, giúp học sinh chinh phục mọi dạng bài trọng điểm, nâng cao tư duy và tối ưu kỹ năng giải đề. Với phương pháp học tập trực quan, logic và có tính ứng dụng cao, học sinh không chỉ tự tin đạt điểm số ấn tượng mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho hành trình vào đại học. Đây chính là hành trang không thể thiếu dành cho bất kỳ sĩ tử nào đang hướng đến thành tích xuất sắc trong kỳ thi quyết định này.

Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2: Hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải

Bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu giải phương trình bậc hai với hệ số phức. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về số phức, bao gồm phép cộng, trừ, nhân, chia số phức và công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

I. Đề bài bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2

Giải các phương trình sau:

z² + 2z + 5 = 0
z² - 4z + 13 = 0
2z² + z + 1 = 0
z² + z + 1 = 0

II. Phương pháp giải phương trình bậc hai với hệ số phức

Phương trình bậc hai với hệ số phức có dạng az² + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức và a ≠ 0. Để giải phương trình này, chúng ta sử dụng công thức nghiệm:

z_1,2 = (-b ± √(Δ)) / 2a

Trong đó, Δ = b² - 4ac là biệt thức của phương trình. Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép. Nếu Δ ≠ 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

III. Lời giải chi tiết bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2

1. Giải phương trình z² + 2z + 5 = 0

Ta có a = 1, b = 2, c = 5. Tính biệt thức Δ:

Δ = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16

Vì Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức phân biệt:

z_1,2 = (-2 ± √(-16)) / 2 * 1 = (-2 ± 4i) / 2 = -1 ± 2i

Vậy, nghiệm của phương trình là z₁ = -1 + 2i và z₂ = -1 - 2i.

2. Giải phương trình z² - 4z + 13 = 0

Ta có a = 1, b = -4, c = 13. Tính biệt thức Δ:

Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 13 = 16 - 52 = -36

Vì Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức phân biệt:

z_1,2 = (4 ± √(-36)) / 2 * 1 = (4 ± 6i) / 2 = 2 ± 3i

Vậy, nghiệm của phương trình là z₁ = 2 + 3i và z₂ = 2 - 3i.

3. Giải phương trình 2z² + z + 1 = 0

Ta có a = 2, b = 1, c = 1. Tính biệt thức Δ:

Δ = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * 1 = 1 - 8 = -7

Vì Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức phân biệt:

z_1,2 = (-1 ± √(-7)) / 2 * 2 = (-1 ± i√7) / 4

Vậy, nghiệm của phương trình là z₁ = (-1 + i√7) / 4 và z₂ = (-1 - i√7) / 4.

4. Giải phương trình z² + z + 1 = 0

Ta có a = 1, b = 1, c = 1. Tính biệt thức Δ:

Δ = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3

Vì Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức phân biệt:

z_1,2 = (-1 ± √(-3)) / 2 * 1 = (-1 ± i√3) / 2

Vậy, nghiệm của phương trình là z₁ = (-1 + i√3) / 2 và z₂ = (-1 - i√3) / 2.

IV. Kết luận

Bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 đã được giải chi tiết. Hy vọng rằng, với lời giải này, các em học sinh có thể hiểu rõ hơn về phương pháp giải phương trình bậc hai với hệ số phức và tự tin áp dụng vào các bài tập tương tự.

Toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!