Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 11, 12, 13, 14 SGK Toán 12 tập 2 trên toan9.edu.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Mục tiêu của chúng tôi là hỗ trợ các em học tập hiệu quả, đạt kết quả cao trong môn Toán.
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây. a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\). b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\).
b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Phương pháp giải:
a) Đại lượng \(L = s(5) - s(3)\) biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\) để tìm hàm quãng đường \(s(t)\). So sánh \(L\) với hiệu của giá trị nguyên hàm tại \(t = 5\) và \(t = 3\).
Lời giải chi tiết:
a) \(L = s(5) - s(3)\) là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta biết rằng \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t) = 3t + 2\). Tính nguyên hàm của \(v(t)\):
\(F(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C\)
Do đó:
\(F(5) - F(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + C} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + C} \right)\)
\( = \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)\)
\( = \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}\)
Do đó, \(L = F(5) - F(3)\), tức là quãng đường \(s(5) - s(3)\) chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x) = 2x\).
a) Tìm các hàm số \(F(x),G(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)
b) So sánh \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\).
Phương pháp giải:
a)
- Nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\).
- Để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).
b)
- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(F(x) = G(x) + C\) với \(C\) là một hằng số. Từ đó, tính hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét hàm số \(f(x) = 2x\). Nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng công thức tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
Trong đó, \({C_1}\) là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):
\(G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}\)
Trong đó, \({C_2}\) là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:
\(F(x) = {x^2} + {C_1}\)
\(G(x) = {x^2} + {C_2}\)
b)
Ta có:
\(F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}\)
Và:
\(G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}\)
Từ đây, dễ thấy rằng:
\(F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}\)
Kết luận: Mặc dù \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.
- Áp dụng công thức của tích phân xác định:
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(x) = {x^3}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3\)
Thay giá trị \(x = 3\) và \(x = 1\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)
Kết quả:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20\)
b)
Tìm nguyên hàm của \(\cos u\):
\(\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(u) = \cos u\) là \(F(u) = \sin u\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi \)
Thay giá trị \(u = \pi \) và \(u = 0\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0\)
Kết quả:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x) = {2^x}\) và \(F(0) = 0\). Tính \(F(1)\).
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\):
- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm \(F(1)\)
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
Tìm nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\):
\(F(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:
\(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = F(1) - F(0)\)
Suy ra:
\(F(1) = \int\limits_0^1 {f(x)} + F(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\) khi \(t = 4\) (Hình 4.3b).
b) Tìm hàm số \(S(t)\) biểu thị diện tích của hình \((H)\) với \(t \in [1;4]\).
c) Chứng minh \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 2t + 1\) trên đoạn [1; 4] và \(S = S(4) - S(1)\).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ \({x_1}\) đến \({x_2}\) và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của \(y\) tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\).
b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi, tìm hàm số diện tích \(S(t)\).
c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số \(S(t)\) và so sánh với \(f(t)\).
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(t = 4\), diện tích của hình thang vuông \((H)\) là:
\(S = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})\)
Trong đó: \({y_1} = 2(1) + 1 = 3\) \({y_2} = 2(4) + 1 = 9\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Do đó:
\(S = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18\) (đơn vị diện tích)
b) Diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi từ 1 đến 4:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)\)
Trong đó: \({y_1} = 3\) \(y(t) = 2t + 1\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = t\) Do đó:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}S(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)\)
\(S(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2\)
c) Chứng minh \(S(t)\) là nguyên hàm của hàm \(f(t) = 2t + 1\):
\(S(t) = {t^2} + t - 2\)
Lấy đạo hàm của \(S(t)\):
\(S'(t) = 2t + 1 = f(t)\)
Do đó, \(S(t)\) là nguyên hàm của \(f(t) = 2t + 1\). Cuối cùng, diện tích \(S = S(4) - S(1)\) được tính như sau:
\(S(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18\)
\(S(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\)
\(S = 18 - 0 = 18\) (đơn vị diện tích).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). (Hình 4.6).
Phương pháp giải:
- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm \(\sqrt x \).
Lời giải chi tiết:
Thiết lập tích phân:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + C\)
Do đó, diện tích cần tìm là:
\(S = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]\)
Tính giá trị cụ thể:
\({4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8\)
\(S = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\).
b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Phương pháp giải:
a) Đại lượng \(L = s(5) - s(3)\) biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\) để tìm hàm quãng đường \(s(t)\). So sánh \(L\) với hiệu của giá trị nguyên hàm tại \(t = 5\) và \(t = 3\).
Lời giải chi tiết:
a) \(L = s(5) - s(3)\) là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta biết rằng \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t) = 3t + 2\). Tính nguyên hàm của \(v(t)\):
\(F(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C\)
Do đó:
\(F(5) - F(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + C} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + C} \right)\)
\( = \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)\)
\( = \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}\)
Do đó, \(L = F(5) - F(3)\), tức là quãng đường \(s(5) - s(3)\) chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\) khi \(t = 4\) (Hình 4.3b).
b) Tìm hàm số \(S(t)\) biểu thị diện tích của hình \((H)\) với \(t \in [1;4]\).
c) Chứng minh \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 2t + 1\) trên đoạn [1; 4] và \(S = S(4) - S(1)\).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ \({x_1}\) đến \({x_2}\) và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của \(y\) tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\).
b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi, tìm hàm số diện tích \(S(t)\).
c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số \(S(t)\) và so sánh với \(f(t)\).
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(t = 4\), diện tích của hình thang vuông \((H)\) là:
\(S = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})\)
Trong đó: \({y_1} = 2(1) + 1 = 3\) \({y_2} = 2(4) + 1 = 9\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Do đó:
\(S = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18\) (đơn vị diện tích)
b) Diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi từ 1 đến 4:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)\)
Trong đó: \({y_1} = 3\) \(y(t) = 2t + 1\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = t\) Do đó:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}S(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)\)
\(S(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2\)
c) Chứng minh \(S(t)\) là nguyên hàm của hàm \(f(t) = 2t + 1\):
\(S(t) = {t^2} + t - 2\)
Lấy đạo hàm của \(S(t)\):
\(S'(t) = 2t + 1 = f(t)\)
Do đó, \(S(t)\) là nguyên hàm của \(f(t) = 2t + 1\). Cuối cùng, diện tích \(S = S(4) - S(1)\) được tính như sau:
\(S(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18\)
\(S(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\)
\(S = 18 - 0 = 18\) (đơn vị diện tích).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x) = 2x\).
a) Tìm các hàm số \(F(x),G(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)
b) So sánh \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\).
Phương pháp giải:
a)
- Nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\).
- Để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).
b)
- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(F(x) = G(x) + C\) với \(C\) là một hằng số. Từ đó, tính hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét hàm số \(f(x) = 2x\). Nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng công thức tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
Trong đó, \({C_1}\) là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):
\(G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}\)
Trong đó, \({C_2}\) là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:
\(F(x) = {x^2} + {C_1}\)
\(G(x) = {x^2} + {C_2}\)
b)
Ta có:
\(F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}\)
Và:
\(G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}\)
Từ đây, dễ thấy rằng:
\(F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}\)
Kết luận: Mặc dù \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.
- Áp dụng công thức của tích phân xác định:
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(x) = {x^3}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3\)
Thay giá trị \(x = 3\) và \(x = 1\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)
Kết quả:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20\)
b)
Tìm nguyên hàm của \(\cos u\):
\(\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(u) = \cos u\) là \(F(u) = \sin u\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi \)
Thay giá trị \(u = \pi \) và \(u = 0\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0\)
Kết quả:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x) = {2^x}\) và \(F(0) = 0\). Tính \(F(1)\).
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\):
- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm \(F(1)\)
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
Tìm nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\):
\(F(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:
\(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = F(1) - F(0)\)
Suy ra:
\(F(1) = \int\limits_0^1 {f(x)} + F(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). (Hình 4.6).
Phương pháp giải:
- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm \(\sqrt x \).
Lời giải chi tiết:
Thiết lập tích phân:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + C\)
Do đó, diện tích cần tìm là:
\(S = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]\)
Tính giá trị cụ thể:
\({4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8\)
\(S = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}\)
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài tập phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1, trang 11, 12, 13, và 14, giúp các em hiểu rõ bản chất của vấn đề và áp dụng vào các bài toán tương tự.
Chúng ta sẽ bắt đầu với việc giải chi tiết các bài tập từ 1 đến hết trên trang 11. Mỗi bài tập sẽ được phân tích kỹ lưỡng, bao gồm:
Tiếp theo, chúng ta sẽ chuyển sang giải các bài tập trên trang 12. Các bài tập này có thể liên quan đến các khái niệm mới được giới thiệu hoặc là sự mở rộng của các bài tập trước đó. Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và giải thích rõ ràng để các em có thể hiểu được cách giải.
Các bài tập trên trang 13 thường có độ khó cao hơn, đòi hỏi các em phải vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt. Chúng tôi sẽ cung cấp các lời giải chi tiết, kèm theo các mẹo và thủ thuật để giúp các em giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả.
Trang 14 thường chứa các bài tập tổng hợp, giúp các em củng cố kiến thức và kỹ năng đã học. Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và phân tích kỹ lưỡng để các em có thể tự tin làm bài tập.
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 có thể bao gồm các chủ đề sau:
Để học tập hiệu quả môn Toán 12, các em nên:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 11, 12, 13, 14 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
| Bài tập | Trang | Độ khó |
|---|---|---|
| Bài tập 1 | 11 | Dễ |
| Bài tập 2 | 11 | Trung bình |
| Bài tập 3 | 12 | Khó |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
