Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 tại toan9.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Đề bài
Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng công thức trung điểm để biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {NM} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
- Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {MN} \) để từ đó tìm ra tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \).
- Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Lời giải chi tiết
- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là:
\(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BM} \)
Với: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \)
Và: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {CD} } \right)\).
Suy ra:
\(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} )\)
Ta có: \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} ) \cdot (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} )\)
Biểu thức này mở rộng thành:
\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CD} \cdot \overrightarrow {CD} )\)
Biết rằng \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = M{N^2} = 7{a^2}\), \(AB = 2a\), \(CD = 2a\sqrt 3 \), ta suy ra:
\(7{a^2} = \frac{1}{4}(4{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + 12{a^2})\)
\(7{a^2} = \frac{1}{4}(16{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} )\)
\(28{a^2} = 16{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \)
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = - 6{a^2}\)
- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {CD} |}}\)
\(\cos \theta = \frac{{ - 6{a^2}}}{{2a.2a\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là \(\theta = {150^\circ }\).
Bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, và cuối cùng là vẽ đồ thị hàm số.
Để bắt đầu, chúng ta cùng xem lại đề bài chính xác của bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1. (Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Khảo sát hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2)
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần tuân theo các bước sau:
Giả sử đề bài là: Khảo sát hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2
Bước 1: Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
Bước 2: Đạo hàm cấp một: y' = 3x^2 - 6x
Bước 3: Điểm tới hạn: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Bước 4: Xét dấu đạo hàm cấp một:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Bước 5: Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y = -2.
Bước 6: Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
Bước 7: Điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1
Bước 8: Khảo sát giới hạn: lim (x->∞) y = ∞ và lim (x->-∞) y = -∞
Bước 9: Vẽ đồ thị: (Mô tả cách vẽ đồ thị dựa trên các thông tin đã tính toán)
Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác.
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
