Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 60, 61, 62, 63, 64 SGK Toán 12 tập 1 trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của toan9.edu.vn đã biên soạn bài giải này một cách cẩn thận, kèm theo các ví dụ minh họa và lời giải thích chi tiết.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18). a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao? b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 61 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và
a) vecto \(\overrightarrow {AB} \);
b) vectơ \(\overrightarrow {AD} \);
c) vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của hình lập phương để xác định góc của các vectơ.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là \(a\).
a) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AB} \):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) là \(\widehat {BAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} )} = 45^\circ \).
b) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \):
Tương tự như câu a ta có: \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là \(\widehat {DAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {DAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {AD} )} = 45^\circ \).
c) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \):
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
Vì O và O’ lần lượt là trung điểm của cạnh BD và B’D’ nên OO’ là đường trung bình của BB’D’D, suy ra \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {O'O} \).
Mà \(O'O \bot AC\) nên \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {B'B} )} = 90^\circ \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} ;\)
b) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} ;\)
c) \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} .\)
Phương pháp giải:
- Xác định độ dài của các vectơ và góc giữa chúng dựa vào tính chất của hình lập phương.
- Sử dụng công thức tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos \theta \) để tính.
Lời giải chi tiết:
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
a) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {A'C'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = |\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) (vì AB' và A'C' là các cạnh đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là \({60^^\circ }\) vì chúng là hai cạnh của tam giác đều AB’C.
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\cos 60^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\frac{1}{2} = {a^2}\).
b) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BD} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BD} | = a\sqrt 2 \) (cả hai đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
Từ B vẽ một vectơ \(\overrightarrow {BE} \) bằng với vectơ \(\overrightarrow {AB'} \).
Vì D đối xứng với E qua tâm của hình vuông BB’C’C nên đường trung tuyến của tam giác cân BED có độ dài là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra: \(\widehat {DBE} = 2\arccos \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:a\sqrt 2 } \right) = 2\arccos \left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cũng là góc giữa \(\overrightarrow {BE} \)và \(\overrightarrow {BD} \) là \(\widehat {DBE}\).
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos 120^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {a^2}\).
c) Tính \(\overrightarrow {A'C'} \cdot \overrightarrow {BB'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BB'} | = a\).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \).
Do \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AA'} \) vuông góc với nhau nên góc giữa \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BB'} \) Là 90°.
Suy ra: \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} = \left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|.\cos 90^\circ = a\sqrt 2 .a.0 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) khác \(\vec 0\). Từ một điểm \(O\) tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} ,\overrightarrow {{b^\prime }} \) sao cho \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\), \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\). (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) (Hình 2.21).
a) Trong mặt phẳng \((P)\), hãy viết biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Hãy so sánh \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) với \(|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\).
Phương pháp giải:
1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng \((P)\).
2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng \((P)\), biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) được tính như sau:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\overrightarrow {{a^\prime }} | \cdot |\overrightarrow {{b^\prime }} | \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Vì \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\), nên:
\(|\overrightarrow {{a^\prime }} | = |\vec a|,|\overrightarrow {{b^\prime }} | = |\vec b|\)
Do đó, ta có:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) là bằng tích của độ lớn của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\)
Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) bằng tích vô hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 60 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18).
a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao?
b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ kết hợp với khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ.
- Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AB} \) suy ra MP = AB và MP // AB (1)
Tương tự: \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {A'C'} \) suy ra MQ = A’C’ = AC và MQ // A’C’ // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta MPQ = \Delta ABC\).
ABC.MPQ có hai đáy song song và bằng nhau nên ABC.MPQ là hình lăng trụ.
b) Vì \(\Delta MPQ = \Delta ABC\) nên \(\widehat {PMQ} = \widehat {BAC} = \alpha \).
Mà góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) là góc\(\widehat {PMQ}\).
Vậy \(\widehat {(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MQ} )} = \alpha \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 64 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chất điểm ở vị trí đỉnh \(A\) của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) như Hình 2.25. Cường độ của các lực \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) tương ứng là \(10{\rm{ N}}\), \(10{\rm{ N}}\) và \(20{\rm{ N}}\). Tính cường độ hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức quy tắc hình bình hành để tính tổng hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\).
\(F{}^\text{2}=\text{}{{F}_{1}}{}^\text{2}+{{F}_{2}}{}^\text{2}+2.{{}_{1}}.{{F}_{2}}.\cos \alpha \).
- Sau đó sử dụng kết quả vừa tính để tính tổng hợp lực với \(\vec c\).
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên góc giữa \(\overrightarrow {AD} \)và \(\overrightarrow {AB} \) là 90°.
Suy ra lực \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\). Vậy hợp lực của hai lực \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\overrightarrow {{F_{ab}}} = \overrightarrow {{F_a}} + \overrightarrow {{F_b}} \Rightarrow {F_{ab}} = \sqrt {{F_a}^2 + {F_b}^2} = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 N\).
Vì tam giác ACC’ là tam giác vuông tại C nên ta có:
\(AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} = \sqrt {A{C^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}} = AC\sqrt {\frac{3}{2}} \) (vì CC’ là cạnh bên của hình lập phương còn AC là đường chéo của mặt bên nên \(CC' = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }}\)).
\(\cos \widehat {CAC'} = \frac{{AC}}{{AC'}} = \frac{{AC}}{{AC\sqrt {\frac{3}{2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) là:
\(F = \sqrt {{F_{ab}}^2 + F_c^2 + 2.{F_{ab}}.{F_c}.\cos \widehat {CAC'}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2} + {{20}^2} + 2.10\sqrt 2 .20.\frac{{\sqrt 6 }}{3}} = 32,6N\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD có \(DA = DB = a\), \(BC = \frac{a}{2}\), \(AB \bot BC\) và \(\widehat {CBD} = {45^^\circ }\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
Phương pháp giải:
- Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} \), từ đó suy ra mối liên hệ với tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
- Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = BC.DB.\cos 45^\circ = \frac{a}{2}.a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).
Mà: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \).
Suy ra: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} + 0 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)(vì \(AB \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} = 0\)).
Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}}{{a.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là \(\arccos \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 60 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18).
a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao?
b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ kết hợp với khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ.
- Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AB} \) suy ra MP = AB và MP // AB (1)
Tương tự: \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {A'C'} \) suy ra MQ = A’C’ = AC và MQ // A’C’ // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta MPQ = \Delta ABC\).
ABC.MPQ có hai đáy song song và bằng nhau nên ABC.MPQ là hình lăng trụ.
b) Vì \(\Delta MPQ = \Delta ABC\) nên \(\widehat {PMQ} = \widehat {BAC} = \alpha \).
Mà góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) là góc\(\widehat {PMQ}\).
Vậy \(\widehat {(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MQ} )} = \alpha \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 61 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và
a) vecto \(\overrightarrow {AB} \);
b) vectơ \(\overrightarrow {AD} \);
c) vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của hình lập phương để xác định góc của các vectơ.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là \(a\).
a) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AB} \):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) là \(\widehat {BAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} )} = 45^\circ \).
b) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \):
Tương tự như câu a ta có: \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là \(\widehat {DAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {DAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {AD} )} = 45^\circ \).
c) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \):
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
Vì O và O’ lần lượt là trung điểm của cạnh BD và B’D’ nên OO’ là đường trung bình của BB’D’D, suy ra \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {O'O} \).
Mà \(O'O \bot AC\) nên \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {B'B} )} = 90^\circ \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) khác \(\vec 0\). Từ một điểm \(O\) tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} ,\overrightarrow {{b^\prime }} \) sao cho \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\), \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\). (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) (Hình 2.21).
a) Trong mặt phẳng \((P)\), hãy viết biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Hãy so sánh \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) với \(|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\).
Phương pháp giải:
1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng \((P)\).
2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng \((P)\), biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) được tính như sau:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\overrightarrow {{a^\prime }} | \cdot |\overrightarrow {{b^\prime }} | \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Vì \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\), nên:
\(|\overrightarrow {{a^\prime }} | = |\vec a|,|\overrightarrow {{b^\prime }} | = |\vec b|\)
Do đó, ta có:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) là bằng tích của độ lớn của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\)
Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) bằng tích vô hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} ;\)
b) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} ;\)
c) \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} .\)
Phương pháp giải:
- Xác định độ dài của các vectơ và góc giữa chúng dựa vào tính chất của hình lập phương.
- Sử dụng công thức tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos \theta \) để tính.
Lời giải chi tiết:
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
a) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {A'C'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = |\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) (vì AB' và A'C' là các cạnh đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là \({60^^\circ }\) vì chúng là hai cạnh của tam giác đều AB’C.
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\cos 60^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\frac{1}{2} = {a^2}\).
b) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BD} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BD} | = a\sqrt 2 \) (cả hai đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
Từ B vẽ một vectơ \(\overrightarrow {BE} \) bằng với vectơ \(\overrightarrow {AB'} \).
Vì D đối xứng với E qua tâm của hình vuông BB’C’C nên đường trung tuyến của tam giác cân BED có độ dài là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra: \(\widehat {DBE} = 2\arccos \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:a\sqrt 2 } \right) = 2\arccos \left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cũng là góc giữa \(\overrightarrow {BE} \)và \(\overrightarrow {BD} \) là \(\widehat {DBE}\).
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos 120^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {a^2}\).
c) Tính \(\overrightarrow {A'C'} \cdot \overrightarrow {BB'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BB'} | = a\).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \).
Do \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AA'} \) vuông góc với nhau nên góc giữa \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BB'} \) Là 90°.
Suy ra: \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} = \left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|.\cos 90^\circ = a\sqrt 2 .a.0 = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD có \(DA = DB = a\), \(BC = \frac{a}{2}\), \(AB \bot BC\) và \(\widehat {CBD} = {45^^\circ }\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
Phương pháp giải:
- Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} \), từ đó suy ra mối liên hệ với tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
- Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = BC.DB.\cos 45^\circ = \frac{a}{2}.a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).
Mà: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \).
Suy ra: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} + 0 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)(vì \(AB \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} = 0\)).
Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}}{{a.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là \(\arccos \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 64 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chất điểm ở vị trí đỉnh \(A\) của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) như Hình 2.25. Cường độ của các lực \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) tương ứng là \(10{\rm{ N}}\), \(10{\rm{ N}}\) và \(20{\rm{ N}}\). Tính cường độ hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức quy tắc hình bình hành để tính tổng hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\).
\(F{}^\text{2}=\text{}{{F}_{1}}{}^\text{2}+{{F}_{2}}{}^\text{2}+2.{{}_{1}}.{{F}_{2}}.\cos \alpha \).
- Sau đó sử dụng kết quả vừa tính để tính tổng hợp lực với \(\vec c\).
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên góc giữa \(\overrightarrow {AD} \)và \(\overrightarrow {AB} \) là 90°.
Suy ra lực \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\). Vậy hợp lực của hai lực \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\overrightarrow {{F_{ab}}} = \overrightarrow {{F_a}} + \overrightarrow {{F_b}} \Rightarrow {F_{ab}} = \sqrt {{F_a}^2 + {F_b}^2} = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 N\).
Vì tam giác ACC’ là tam giác vuông tại C nên ta có:
\(AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} = \sqrt {A{C^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}} = AC\sqrt {\frac{3}{2}} \) (vì CC’ là cạnh bên của hình lập phương còn AC là đường chéo của mặt bên nên \(CC' = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }}\)).
\(\cos \widehat {CAC'} = \frac{{AC}}{{AC'}} = \frac{{AC}}{{AC\sqrt {\frac{3}{2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) là:
\(F = \sqrt {{F_{ab}}^2 + F_c^2 + 2.{F_{ab}}.{F_c}.\cos \widehat {CAC'}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2} + {{20}^2} + 2.10\sqrt 2 .20.\frac{{\sqrt 6 }}{3}} = 32,6N\).
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững lý thuyết cơ bản, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Bài viết này sẽ đi sâu vào từng bài tập, cung cấp lời giải chi tiết và phân tích các bước thực hiện.
Trang 60 thường chứa các bài tập vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán đơn giản. Các bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán cơ bản. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trên trang 60:
Trang 61 thường chứa các bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo. Các bài tập này giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trên trang 61:
Các bài tập trên trang 62 thường liên quan đến việc ứng dụng kiến thức vào thực tế. Việc giải các bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về tầm quan trọng của Toán học trong cuộc sống. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trên trang 62:
Trang 63 thường chứa các bài tập tổng hợp, giúp học sinh ôn tập lại kiến thức đã học trong mục 3. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trên trang 63:
Trang 64 thường chứa các bài tập luyện tập, giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trên trang 64:
Để giải bài tập Toán 12 tập 1 một cách hiệu quả, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những lời giải chi tiết và hữu ích cho các bài tập trong mục 3 trang 60, 61, 62, 63, 64 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
