Giải Mục 3 Trang 8, 9 Sgk Toán 12 Tập 2

Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ các em trong quá trình học tập môn Toán.

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số $2F(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $2f(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x$ là:

$F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Tính đạo hàm của $2F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x$

Mà $2f(x) = 2x$. Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Vậy $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x$ và một nguyên hàm $G(x)$ của hàm số $g(x) = 3$. Chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$ và $g(x) = 3$.

- Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) + G(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $f(x) + g(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

trong đó ${C_1}$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3$ là:

$G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}$

trong đó ${C_2}$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x) = 2x + 3$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Tính đạo hàm của $F(x) + G(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3$

Mà $f(x) + g(x) = 2x + 3$.

Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {e^{2x + 1}};$

b) $g(x) = \frac{8}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng $\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt $u = 2x + 1$. Khi đó, $du = 2dx$ hay $dx = \frac{{du}}{2}$. Tích phân của $f(x)$ trở thành:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C$

Thay $u = 2x + 1$ trở lại:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ là:

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ được tính như sau: Ta biết rằng:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C$

Do đó:

$\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ là:

$G(x) = 8\ln |x| + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {x^3} - {3^x};$

b) $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$.

Phương pháp giải:

a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với ${x^3}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với ${3^x}$, sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác $e$.

b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với $\frac{1}{x}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với $\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$, nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của ${\csc ^2}x$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^3} - {3^x}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}$

Tính nguyên hàm của $ - {3^x}$:

$\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là:

$F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

b) Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}$

Tính nguyên hàm của $ - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$:

$\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm $t$ tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức $P'(t) = 8t + 30$ (con/tháng), với $P(t)$ là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm $t$ tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$. Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P(t) = 4{t^2} + 30t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$:

$P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};$

b) $h(t) = 2t(t - 3)$.

Phương pháp giải:

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

$g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$:

$\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

$\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:

$h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $h(t) = 2{t^2} - 6t$:

$\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}$

$\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $h(t)$ là:

$H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ6
LT7
HĐ7
LT8
LT9
VD2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số $2F(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $2f(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x$ là:

$F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Tính đạo hàm của $2F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x$

Mà $2f(x) = 2x$. Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Vậy $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {e^{2x + 1}};$

b) $g(x) = \frac{8}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng $\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt $u = 2x + 1$. Khi đó, $du = 2dx$ hay $dx = \frac{{du}}{2}$. Tích phân của $f(x)$ trở thành:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C$

Thay $u = 2x + 1$ trở lại:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ là:

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ được tính như sau: Ta biết rằng:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C$

Do đó:

$\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ là:

$G(x) = 8\ln |x| + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$ và $g(x) = 3$.

- Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) + G(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $f(x) + g(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

trong đó ${C_1}$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3$ là:

$G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}$

trong đó ${C_2}$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x) = 2x + 3$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Tính đạo hàm của $F(x) + G(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3$

Mà $f(x) + g(x) = 2x + 3$.

Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {x^3} - {3^x};$

b) $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^3} - {3^x}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}$

Tính nguyên hàm của $ - {3^x}$:

$\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là:

$F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

b) Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}$

Tính nguyên hàm của $ - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$:

$\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};$

b) $h(t) = 2t(t - 3)$.

Phương pháp giải:

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

$g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$:

$\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

$\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:

$h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $h(t) = 2{t^2} - 6t$:

$\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}$

$\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $h(t)$ là:

$H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$. Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P(t) = 4{t^2} + 30t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$:

$P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

Bứt phá ngoạn mục tại Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán với chiến lược ôn luyện hiệu quả và toàn diện! Đừng bỏ lỡ Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá – nội dung trọng tâm thuộc chuyên mục sgk toán 12 trên nền tảng tài liệu toán. Bộ tài liệu toán trung học phổ thông được biên soạn kỹ lưỡng, bám sát chương trình Toán lớp 12 và cấu trúc đề thi thực tế, giúp học sinh chinh phục mọi dạng bài trọng điểm, nâng cao tư duy và tối ưu kỹ năng giải đề. Với phương pháp học tập trực quan, logic và có tính ứng dụng cao, học sinh không chỉ tự tin đạt điểm số ấn tượng mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho hành trình vào đại học. Đây chính là hành trang không thể thiếu dành cho bất kỳ sĩ tử nào đang hướng đến thành tích xuất sắc trong kỳ thi quyết định này.

Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2: Tổng quan

Mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình Toán 12. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết liên quan, hiểu rõ các định nghĩa, định lý và công thức quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích từng bài tập, cung cấp lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng để giúp các em hiểu rõ hơn về chủ đề này.

Bài 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập 1 thường yêu cầu học sinh giải các phương trình lượng giác cơ bản, ví dụ như phương trình sin(x) = a, cos(x) = a, tan(x) = a, cot(x) = a. Để giải các phương trình này, học sinh cần nhớ các công thức lượng giác cơ bản và các nghiệm tổng quát của các phương trình lượng giác. Ví dụ, phương trình sin(x) = a có nghiệm tổng quát là:

x = arcsin(a) + k2π
x = π - arcsin(a) + k2π

Trong đó k là số nguyên.

Bài 2: Giải phương trình lượng giác nâng cao

Bài tập 2 thường yêu cầu học sinh giải các phương trình lượng giác nâng cao, ví dụ như phương trình sin(ax + b) = c, cos(ax + b) = c, tan(ax + b) = c, cot(ax + b) = c. Để giải các phương trình này, học sinh cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình về dạng cơ bản. Ví dụ, để giải phương trình sin(2x + π/3) = 1/2, ta có thể đặt t = 2x + π/3, sau đó giải phương trình sin(t) = 1/2.

Bài 3: Ứng dụng phương trình lượng giác vào thực tế

Bài tập 3 thường yêu cầu học sinh ứng dụng phương trình lượng giác vào giải quyết các bài toán thực tế, ví dụ như bài toán về dao động điều hòa, bài toán về góc và khoảng cách. Để giải các bài toán này, học sinh cần phân tích bài toán, xây dựng mô hình toán học và sử dụng các công thức lượng giác để tìm ra lời giải.

Các lưu ý quan trọng khi giải bài tập

Luôn kiểm tra điều kiện xác định của phương trình.
Sử dụng các công thức lượng giác một cách chính xác.
Biến đổi phương trình một cách hợp lý để đưa về dạng cơ bản.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2

Lời giải:

Phương trình sin(x) = 1/2 có nghiệm tổng quát là:

x = arcsin(1/2) + k2π = π/6 + k2π
x = π - arcsin(1/2) + k2π = 5π/6 + k2π

Trong đó k là số nguyên.

Ví dụ 2: Giải phương trình cos(2x) = -1

Lời giải:

Phương trình cos(2x) = -1 có nghiệm tổng quát là:

2x = π + k2π

x = π/2 + kπ

Trong đó k là số nguyên.

Tổng kết

Hy vọng bài giải chi tiết mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 trên toan9.edu.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về chủ đề này và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!