Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 2 trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của toan9.edu.vn đã biên soạn bài giải này một cách cẩn thận, kèm theo các ví dụ minh họa và lời giải thích chi tiết.
Trong không gian Oxyz, cho điểm (M(x;y;z)), mặt cầu S có tâm (I(a;b;c)) và bán kính (r).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \((S)\):
a) Có tâm \(I(2; - 1;0)\) và đi qua điểm \(M(4;1; - 2)\).
b) Có đường kính AB với \(A(0;1;3)\), \(B(4; - 5; - 1)\).
Phương pháp giải:
a)
- Tìm bán kính \(r\) của mặt cầu bằng cách tính khoảng cách IM.
- Sử dụng phương trình mặt cầu với tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\):
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
b)
- Tìm tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB.
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài của AB.
- Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính r.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tâm \(I(2; - 1;0)\), điểm \(M(4;1; - 2)\).
- Tính bán kính:
\(r = IM = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(1 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {4 + 4 + 4} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {(2\sqrt 3 )^2} = 12.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 12.\)
b)
- Trung điểm I của đoạn AB là:
\(I = \left( {\frac{{0 + 4}}{2};\frac{{1 - 5}}{2};\frac{{3 - 1}}{2}} \right) = (2; - 2;1).\)
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài AB:
\(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{(4 - 0)}^2} + {{( - 5 - 1)}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {16 + 36 + 16} }}{2} = \frac{{\sqrt {68} }}{2} = \frac{{2\sqrt {17} }}{2} = \sqrt {17} .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = {(\sqrt {17} )^2} = 17.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 17.\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:
a) \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9\)
b) \({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1\)
Phương pháp giải:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính r là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = {3^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 3;2; - 3)\) và bán kính \(r = 3\).
b) Ta có:
\({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 0)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 0)^2} = {1^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(0; - 2;0)\) và bán kính \(r = 1\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu S có phương trình:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\) (1). Khai triển (1), giả sử ta được:
\((1) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0.\)
a) Tính A, B, C, D của (2) theo a, b, c, r của (1).
b) Xác định dấu của \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\).
c) Tìm tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu (S) theo A, B, C, D.
Phương pháp giải:
a) Khai triển phương trình mặt cầu và so sánh hệ số với phương trình đã cho.
b) Tính biểu thức \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\) dựa trên các giá trị của A, B, C, và D.
c) Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu S bằng cách đưa phương trình về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a)
Khai triển phương trình mặt cầu:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Ta có:
\({x^2} - 2ax + {a^2} + {y^2} - 2by + {b^2} + {z^2} - 2cz + {c^2} = {r^2}.\)
Rút gọn, ta được:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}) = 0.\)
So sánh với phương trình đã cho:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
Suy ra:
\(A = - a,\quad B = - b,\quad C = - c,\quad D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}.\)
b)
Tính \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\):
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {( - a)^2} + {( - b)^2} + {( - c)^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}).\)
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2}) + {r^2} = {r^2} > 0\)
c)
Từ \(A = - a\), \(B = - b\), \(C = - c\), suy ra:
\(a = - A,\quad b = - B,\quad c = - C.\)
Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu là \(I( - A, - B, - C)\). Bán kính \(r\) của mặt cầu là:
\(r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Vậy, tâm và bán kính của mặt cầu \(S\) là:
\(I( - A, - B, - C),\quad r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu có phương trình:
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0\).
b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Với phương trình mặt cầu dạng tổng quát \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\):
- Tìm tọa độ tâm \(I(a,b,c)\) với
\(a = - A\), \(b = - B\), \(c = - C\).
- Tính bán kính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} \).
b) Nếu phương trình có hệ số khác 1 cho các x^2, y^2, z^2 thì chia cả hai vế cho hệ số đó để đưa về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt cầu:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 4 \Rightarrow A = 2,\quad 2B = - 2 \Rightarrow B = - 1,\quad 2C = 0 \Rightarrow C = 0,\quad D = 1.\)
Vậy:
\(a = - A = - 2,\quad b = - B = 1,\quad c = - C = 0.\)
Tâm \(I( - 2,1,0)\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = \sqrt {4 + 1 - 1} = \sqrt 4 = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 2,1,0)\) và bán kính \(r = 2\).
b)
Phương trình mặt cầu:
\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0.\)
Chia cả hai vế cho \(3\):
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 3z + \frac{1}{3} = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 2 \Rightarrow A = 1,\quad 2B = 4 \Rightarrow B = 2,\quad 2C = - 3 \Rightarrow C = - \frac{3}{2},\quad D = \frac{1}{3}.\)
Vậy:
\(a = - A = - 1,\quad b = - B = - 2,\quad c = - C = \frac{3}{2}.\)
Tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{3}} = \sqrt {1 + 4 + \frac{9}{4} - \frac{1}{3}} .\)
Tính tiếp:
\(r = \sqrt {\frac{{12 + 48 + 27 - 4}}{{12}}} = \sqrt {\frac{{83}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {83} }}{2}.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\) và bán kính \(r = \frac{{\sqrt {83} }}{2}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(x;y;z)\), mặt cầu S có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\).
a) Tính độ dài đoạn thẳng IM theo a, b, c, x, y, z.
b) Thay ? bằng một biểu thức hoặc một giá trị thích hợp để có phương trình của mặt cầu.
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = ? \Leftrightarrow \sqrt ? = r \Leftrightarrow {(x - ?)^2} + {(y - ?)^2} + {(z - ?)^2} = {r^2}.\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tính độ dài IM theo tọa độ.
b) Sử dụng tính chất khoảng cách từ tâm tới một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu đều bằng bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ \(I(a;b;c)\) đến \(M(x;y;z)\) là:
\(IM = \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} .\)
b) Biểu thức sau khi thay ? là:
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = r \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} = r \Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600 m được đặt ở vị trí \(I(200;450;60)\)
a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng phủ sóng.
b) Nếu người dùng điện thoại đang ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính \(r\) đã cho.
b) Tính khoảng cách IA và so sánh với bán kính \(r\).
Lời giải chi tiết:
a)
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(200;450;60)\) và bán kính \(r = 600\):
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = {600^2} = 360000.\)
Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng là:
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = 360000.\)
b)
Tính khoảng cách IA:
\(IA = \sqrt {{{( - 100 - 200)}^2} + {{(50 - 450)}^2} + {{(10 - 60)}^2}} = \sqrt {{{( - 300)}^2} + {{( - 400)}^2} + {{( - 50)}^2}} .\)
\(IA = \sqrt {90000 + 160000 + 2500} = \sqrt {252500} \approx 502.5.\)
Vì \(IA \approx 502.5 < 600\), nên người dùng điện thoại ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) nằm trong vùng phủ sóng của trạm và có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của tòa nhà Ericsson Globe ở phần Khởi động trong hệ trục tọa độ Oxyz bởi một mặt cầu có tâm I, đường kính 110 m và \(OA = 85\) m như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Hãy viết phương trình của mặt cầu này.
Phương pháp giải:
1. Xác định tọa độ của tâm mặt cầu I:
- Vì tâm mặt cầu nằm trên trục Oz, nên tọa độ của I sẽ có dạng \((0,0,{z_0})\).
- Sử dụng thông tin khoảng cách từ O đến I để tìm \({z_0}\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
- Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
- Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình trên để hoàn thành lời giải.
Lời giải chi tiết:
1. Xác định tọa độ tâm \(I\):
Do \(OA = 85\) m và bán kính của mặt cầu \(R = \frac{{110}}{2} = 55\) m, nên khoảng cách từ \(O\) đến \(I\) là:
\(OI = OA - R = 85 - 55 = 30 {\rm{m}}\).
Vậy tọa độ của \(I\) là \((0,0,30)\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,30)\) và bán kính \(R = 55\) là:
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 30)^2} = {55^2}\)
\( \Leftrightarrow{x^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 3025\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(x;y;z)\), mặt cầu S có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\).
a) Tính độ dài đoạn thẳng IM theo a, b, c, x, y, z.
b) Thay ? bằng một biểu thức hoặc một giá trị thích hợp để có phương trình của mặt cầu.
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = ? \Leftrightarrow \sqrt ? = r \Leftrightarrow {(x - ?)^2} + {(y - ?)^2} + {(z - ?)^2} = {r^2}.\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tính độ dài IM theo tọa độ.
b) Sử dụng tính chất khoảng cách từ tâm tới một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu đều bằng bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ \(I(a;b;c)\) đến \(M(x;y;z)\) là:
\(IM = \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} .\)
b) Biểu thức sau khi thay ? là:
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = r \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} = r \Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:
a) \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9\)
b) \({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1\)
Phương pháp giải:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính r là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = {3^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 3;2; - 3)\) và bán kính \(r = 3\).
b) Ta có:
\({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 0)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 0)^2} = {1^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(0; - 2;0)\) và bán kính \(r = 1\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \((S)\):
a) Có tâm \(I(2; - 1;0)\) và đi qua điểm \(M(4;1; - 2)\).
b) Có đường kính AB với \(A(0;1;3)\), \(B(4; - 5; - 1)\).
Phương pháp giải:
a)
- Tìm bán kính \(r\) của mặt cầu bằng cách tính khoảng cách IM.
- Sử dụng phương trình mặt cầu với tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\):
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
b)
- Tìm tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB.
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài của AB.
- Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính r.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tâm \(I(2; - 1;0)\), điểm \(M(4;1; - 2)\).
- Tính bán kính:
\(r = IM = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(1 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {4 + 4 + 4} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {(2\sqrt 3 )^2} = 12.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 12.\)
b)
- Trung điểm I của đoạn AB là:
\(I = \left( {\frac{{0 + 4}}{2};\frac{{1 - 5}}{2};\frac{{3 - 1}}{2}} \right) = (2; - 2;1).\)
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài AB:
\(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{(4 - 0)}^2} + {{( - 5 - 1)}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {16 + 36 + 16} }}{2} = \frac{{\sqrt {68} }}{2} = \frac{{2\sqrt {17} }}{2} = \sqrt {17} .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = {(\sqrt {17} )^2} = 17.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 17.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu S có phương trình:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\) (1). Khai triển (1), giả sử ta được:
\((1) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0.\)
a) Tính A, B, C, D của (2) theo a, b, c, r của (1).
b) Xác định dấu của \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\).
c) Tìm tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu (S) theo A, B, C, D.
Phương pháp giải:
a) Khai triển phương trình mặt cầu và so sánh hệ số với phương trình đã cho.
b) Tính biểu thức \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\) dựa trên các giá trị của A, B, C, và D.
c) Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu S bằng cách đưa phương trình về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a)
Khai triển phương trình mặt cầu:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Ta có:
\({x^2} - 2ax + {a^2} + {y^2} - 2by + {b^2} + {z^2} - 2cz + {c^2} = {r^2}.\)
Rút gọn, ta được:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}) = 0.\)
So sánh với phương trình đã cho:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
Suy ra:
\(A = - a,\quad B = - b,\quad C = - c,\quad D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}.\)
b)
Tính \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\):
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {( - a)^2} + {( - b)^2} + {( - c)^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}).\)
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2}) + {r^2} = {r^2} > 0\)
c)
Từ \(A = - a\), \(B = - b\), \(C = - c\), suy ra:
\(a = - A,\quad b = - B,\quad c = - C.\)
Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu là \(I( - A, - B, - C)\). Bán kính \(r\) của mặt cầu là:
\(r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Vậy, tâm và bán kính của mặt cầu \(S\) là:
\(I( - A, - B, - C),\quad r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu có phương trình:
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0\).
b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Với phương trình mặt cầu dạng tổng quát \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\):
- Tìm tọa độ tâm \(I(a,b,c)\) với
\(a = - A\), \(b = - B\), \(c = - C\).
- Tính bán kính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} \).
b) Nếu phương trình có hệ số khác 1 cho các x^2, y^2, z^2 thì chia cả hai vế cho hệ số đó để đưa về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt cầu:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 4 \Rightarrow A = 2,\quad 2B = - 2 \Rightarrow B = - 1,\quad 2C = 0 \Rightarrow C = 0,\quad D = 1.\)
Vậy:
\(a = - A = - 2,\quad b = - B = 1,\quad c = - C = 0.\)
Tâm \(I( - 2,1,0)\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = \sqrt {4 + 1 - 1} = \sqrt 4 = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 2,1,0)\) và bán kính \(r = 2\).
b)
Phương trình mặt cầu:
\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0.\)
Chia cả hai vế cho \(3\):
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 3z + \frac{1}{3} = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 2 \Rightarrow A = 1,\quad 2B = 4 \Rightarrow B = 2,\quad 2C = - 3 \Rightarrow C = - \frac{3}{2},\quad D = \frac{1}{3}.\)
Vậy:
\(a = - A = - 1,\quad b = - B = - 2,\quad c = - C = \frac{3}{2}.\)
Tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{3}} = \sqrt {1 + 4 + \frac{9}{4} - \frac{1}{3}} .\)
Tính tiếp:
\(r = \sqrt {\frac{{12 + 48 + 27 - 4}}{{12}}} = \sqrt {\frac{{83}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {83} }}{2}.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\) và bán kính \(r = \frac{{\sqrt {83} }}{2}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600 m được đặt ở vị trí \(I(200;450;60)\)
a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng phủ sóng.
b) Nếu người dùng điện thoại đang ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính \(r\) đã cho.
b) Tính khoảng cách IA và so sánh với bán kính \(r\).
Lời giải chi tiết:
a)
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(200;450;60)\) và bán kính \(r = 600\):
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = {600^2} = 360000.\)
Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng là:
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = 360000.\)
b)
Tính khoảng cách IA:
\(IA = \sqrt {{{( - 100 - 200)}^2} + {{(50 - 450)}^2} + {{(10 - 60)}^2}} = \sqrt {{{( - 300)}^2} + {{( - 400)}^2} + {{( - 50)}^2}} .\)
\(IA = \sqrt {90000 + 160000 + 2500} = \sqrt {252500} \approx 502.5.\)
Vì \(IA \approx 502.5 < 600\), nên người dùng điện thoại ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) nằm trong vùng phủ sóng của trạm và có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của tòa nhà Ericsson Globe ở phần Khởi động trong hệ trục tọa độ Oxyz bởi một mặt cầu có tâm I, đường kính 110 m và \(OA = 85\) m như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Hãy viết phương trình của mặt cầu này.
Phương pháp giải:
1. Xác định tọa độ của tâm mặt cầu I:
- Vì tâm mặt cầu nằm trên trục Oz, nên tọa độ của I sẽ có dạng \((0,0,{z_0})\).
- Sử dụng thông tin khoảng cách từ O đến I để tìm \({z_0}\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
- Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
- Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình trên để hoàn thành lời giải.
Lời giải chi tiết:
1. Xác định tọa độ tâm \(I\):
Do \(OA = 85\) m và bán kính của mặt cầu \(R = \frac{{110}}{2} = 55\) m, nên khoảng cách từ \(O\) đến \(I\) là:
\(OI = OA - R = 85 - 55 = 30 {\rm{m}}\).
Vậy tọa độ của \(I\) là \((0,0,30)\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,30)\) và bán kính \(R = 55\) là:
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 30)^2} = {55^2}\)
\( \Leftrightarrow{x^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 3025\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững lý thuyết cơ bản, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Bài viết này sẽ đi sâu vào từng bài tập, cung cấp lời giải chi tiết và phân tích các bước thực hiện.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về... (giả sử bài tập liên quan đến đạo hàm). Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ minh họa: ... (giải chi tiết bài tập)
Bài tập này liên quan đến... (giả sử bài tập liên quan đến cực trị). Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ minh họa: ... (giải chi tiết bài tập)
Bài tập này yêu cầu học sinh... (giả sử bài tập liên quan đến ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán thực tế). Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ minh họa: ... (giải chi tiết bài tập)
Ngoài SGK Toán 12 tập 2, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 2 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 2 trên toan9.edu.vn sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức và tự tin làm bài tập. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
