Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 tại toan9.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về số phức để giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\). b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1).
a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\).
b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\).
c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
- Tìm véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng của hai véc-tơ trong mặt phẳng.
- Kiểm tra tích vô hướng giữa véc-tơ chỉ phương của đường thẳng và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu tích vô hướng bằng 0, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
b) Chứng minh hai mặt phẳng song song và tính khoảng cách:
- Tìm véc-tơ pháp tuyến của từng mặt phẳng. Nếu hai véc-tơ pháp tuyến cùng phương, hai mặt phẳng song song.
- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng:
- Tìm véc-tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.
- Dùng công thức để tính góc giữa hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Các đỉnh còn lại có toạ độ là: \(C(1;1;0)\), \(B'(0;1;1)\), \(C'(1;1;1)\), \(D'(1;0;1)\)
a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\)
Véc-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\):
\(\overrightarrow {AB'} = (0;1;1),\quad \overrightarrow {AD'} = (1;0;1)\)
\({\vec n_{(AB'D')}} = \overrightarrow {AB'} \times \overrightarrow {AD'} = (1;1; - 1)\)
Mà ta có: \(\overrightarrow {A'C} = (1;1; - 1)\)trùng với vec-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\)
Vậy \(A'C \bot (AB'D')\).
b) Chứng minh \((AB'D')\parallel (C'BD)\) và tính khoảng cách
Véc-tơ pháp tuyến của \((C'BD)\):
\(\overrightarrow {C'B} = ( - 1;0; - 1),\quad \overrightarrow {C'D} = (0; - 1; - 1)\)
\({\vec n_{(C'BD)}} = \overrightarrow {C'B} \times \overrightarrow {C'D} = ( - 1; - 1;1)\)
Hai véc-tơ pháp tuyến \({\vec n_{(AB'D')}}\) và \({\vec n_{(C'BD)}}\) cùng phương nên \((AB'D')\parallel (C'BD)\).
* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
Chọn điểm \(A(0,0,0)\) thuộc \((AB'D')\).
Phương trình \((C'BD)\): \(1.(x - 0) - 1.(y - 1) - (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 1 = 0\).
\(d = \frac{{|0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 - 0 \cdot ( - 1) + 1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
c) Tính \(\cos \theta \) giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\)
- Véc-tơ pháp tuyến của \((DA'C')\):
\(\overrightarrow {DA'} = ( - 1;0;1),\quad \overrightarrow {DC'} = (0;1;1)\)
\({\vec n_{(DA'C')}} = \overrightarrow {DA'} \times \overrightarrow {DC'} = ( - 1;1; - 1)\)
Véc-tơ pháp tuyến của \((ABB'A')\):
\(\overrightarrow {AB} = (0,1,0),\quad \overrightarrow {AA'} = (0,0,1)\)
\({\vec n_{(ABB'A')}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AA'} = (1,0,0)\)
Tính \(\cos \theta \):
\({\vec n_{(DA'C')}} \cdot {\vec n_{(ABB'A')}} = ( - 1;1; - 1) \cdot (1;0;0) = - 1\)
\(\cos \theta = \frac{{| - 1|}}{{\sqrt 3 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu giải phương trình bậc hai với hệ số phức. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về số phức, bao gồm phép cộng, trừ, nhân, chia số phức và công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
Để giải bài tập 5.43, chúng ta sẽ áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai và các quy tắc về phép toán với số phức. Cụ thể, bài tập yêu cầu giải phương trình:
(z - 2)(z + 1) = 0
Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp sau:
z = (1 ± √(12 - 4 * 1 * -2)) / (2 * 1)
z = (1 ± √9) / 2
z = (1 ± 3) / 2
z1 = (1 + 3) / 2 = 2
z2 = (1 - 3) / 2 = -1
Vậy, phương trình (z - 2)(z + 1) = 0 có hai nghiệm là z1 = 2 và z2 = -1.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về số phức, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập cơ bản về số phức. Việc giải bài tập này giúp các em hiểu rõ hơn về cách áp dụng kiến thức về số phức để giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin hơn khi làm bài tập về số phức.
Toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
