Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 tại toan9.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến tích phân.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tứ diện OABC có \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), (\(a > 0,b > 0,c > 0\)). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng \((OAB)\), \((OBC)\), \((OAC)\) với mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
Đề bài
Cho tứ diện OABC có \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), (\(a > 0,b > 0,c > 0\)). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng \((OAB)\), \((OBC)\), \((OAC)\) với mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:
\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((OAB),(OBC),(OAC)\) và \((ABC)\), sau đó áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cosin của góc giữa các vectơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết
Độ dài của các vectơ pháp tuyến:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\): \(\overrightarrow {{n_{OAB}}} = \overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OB} = (a,0,0) \times (0,b,0) = (0,0,ab)\).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OBC)\): \(\overrightarrow {{n_{OBC}}} = \overrightarrow {OB} \times \overrightarrow {OC} = (0,b,0) \times (0,0,c) = (bc,0,0)\).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAC)\): \(\overrightarrow {{n_{OAC}}} = \overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OC} = (a,0,0) \times (0,0,c) = (0,ac,0)\).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = ( - a,b,0) \times ( - a,0,c) = (bc,ac,ab)\).
Tính cosin của các góc:
- \(\cos \alpha = \frac{{|ab \cdot ab|}}{{ab \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{ab \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\).
- \(\cos \beta = \frac{{|bc \cdot bc|}}{{bc \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\).
- \(\cos \gamma = \frac{{|ac \cdot ac|}}{{ac \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\).
Tổng các bình phương:
\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = {\left( {\frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2}\)
\( = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} + \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}}.\)
\( = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} = 1.\)
Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
Bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học tích phân. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về tích phân, bao gồm định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân. Bài toán này thường yêu cầu học sinh tính tích phân xác định của một hàm số trên một khoảng cho trước.
(Đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Tính tích phân I = ∫(0 đến π/2) sin^2(x) dx)
Để giải bài tập này, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp sau:
(Lời giải chi tiết sẽ được chèn vào đây, bao gồm các bước giải cụ thể, sử dụng công thức và giải thích rõ ràng. Ví dụ:)
Sử dụng công thức hạ bậc, ta có:
I = ∫(0 đến π/2) sin^2(x) dx = ∫(0 đến π/2) (1 - cos(2x))/2 dx
I = (1/2) ∫(0 đến π/2) (1 - cos(2x)) dx
I = (1/2) [x - (1/2)sin(2x)] (từ 0 đến π/2)
I = (1/2) [(π/2 - (1/2)sin(π)) - (0 - (1/2)sin(0))]
I = (1/2) * (π/2) = π/4
Vậy, kết quả của tích phân là π/4.
Khi giải các bài tập về tích phân, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tích phân. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày ở trên, các em học sinh có thể tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
