Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 54, 55, 56, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2. Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Bài viết này sẽ đi sâu vào từng bài tập, cung cấp phương pháp giải và các lưu ý quan trọng.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5.17). Tìm bốn vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\).
a) Viết phương trình tham số của \(d\).
b) Tìm điểm \(M\) thuộc \(d\) biết \(OM = 7\).
Phương pháp giải:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)
Với \({M_0} = A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), thay vào ta được phương trình tham số của \(d\).
b) Tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) từ phương trình tham số của \(d\). Dùng điều kiện \(OM = 7\), tức là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\), ta có:
\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = 7\)
Thay các tọa độ của \(M(x(t),y(t),z(t))\) từ phương trình tham số vào, rồi giải phương trình để tìm \(t\), từ đó suy ra tọa độ của \(M\).
Lời giải chi tiết:
a)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Với \(A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 2t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
b)
Điểm \(M\) có tọa độ \((x,y,z)\) thuộc đường thẳng \(d\), nên tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) như sau:
\(M(6 + 2t, - 2 + 2t,3 - t)\)
Điều kiện \(OM = 7\) nghĩa là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\) bằng 7:
\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = 7\)
Thay tọa độ của \(M\) vào phương trình khoảng cách:
\(OM = \sqrt {{{(6 + 2t)}^2} + {{( - 2 + 2t)}^2} + {{(3 - t)}^2}} = 7\)
Bình phương hai vế:
\({(6 + 2t)^2} + {( - 2 + 2t)^2} + {(3 - t)^2} = 49\)
\({(6 + 2t)^2} = 36 + 24t + 4{t^2}\)
\({( - 2 + 2t)^2} = 4 - 8t + 4{t^2}\)
\({(3 - t)^2} = 9 - 6t + {t^2}\)
\((36 + 24t + 4{t^2}) + (4 - 8t + 4{t^2}) + (9 - 6t + {t^2}) = 49\)
\(49 + 10t + 9{t^2} = 49\)
\(10t + 9{t^2} = 0\)
\(t(9t + 10) = 0\)
Do đó, ta có hai nghiệm: \(t = 0\) và \(t = - \frac{{10}}{9}\)
Với \(t = 0\), tọa độ của \(M\) là:
\(M(6 + 2 \cdot 0, - 2 + 2 \cdot 0,3 - 0) = M(6, - 2,3)\)
Với \(t = - \frac{{10}}{9}\), tọa độ của \(M\) là:
\(M\left( {6 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right), - 2 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right),3 - \left( { - \frac{{10}}{9}} \right)} \right)\)
\(M\left( {6 - \frac{{20}}{9}, - 2 - \frac{{20}}{9},3 + \frac{{10}}{9}} \right) = M\left( {\frac{{54}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{ - 18}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{27}}{9} + \frac{{10}}{9}} \right)\)
\(M\left( {\frac{{34}}{9},\frac{{ - 38}}{9},\frac{{37}}{9}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) qua \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Phương trình tham số của đường thẳng là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Giả sử \({a_1},{a_2},{a_3}\) đều khác 0. Hãy tính các tỉ số \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}},\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}},\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) theo \(t\) và so sánh các tỉ số này.
Phương pháp giải:
Tính các tỉ số \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}},\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}},\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) theo \(t\) và so sánh các tỉ số này.
Lời giải chi tiết:
Từ phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)
Ta có:
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t\)
Các tỉ số này đều bằng \(t\), điều này chứng tỏ tất cả các tỉ số này bằng nhau, và đường thẳng \(d\) có thể viết dưới dạng phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N( - 2;3;1)\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3; - 4;5)\).
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\).
b) Tìm điểm \(A\) thuộc \(d\) biết \(A\) có hoành độ bằng 4.
Phương pháp giải:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng và các tỉ số giữa tọa độ của điểm trên đường thẳng với tọa độ của điểm qua và các thành phần của vectơ chỉ phương.
b) Tìm điểm thuộc đường thẳng: Sử dụng điều kiện hoành độ của A để tìm tham số \(t\) trong phương trình tham số của đường thẳng. Từ đó tính ra tọa độ của điểm cần tìm.
Lời giải chi tiết:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\):
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 3t}\\{y = 3 - 4t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:
\(\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{5}\)
b) Tìm điểm \(A\) thuộc \(d\) biết hoành độ của A là 4:
Điểm \(A\) thuộc \(d\) có tọa độ \(A(4;y;z)\).
Suy ra: \(t = \frac{{4 + 2}}{3} = 2\)
\(y = 3 - 4.2 = - 5\) và \(z = 1 + 5.2 = 11\)
Vậy điểm A có toạ độ là \(A(4; - 5;11)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) qua hai điểm phân biệt \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\).
a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không? Vì sao?
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\).
c) Giả sử \({x_B} \ne {x_A},{y_B} \ne {y_A}\) và \({z_B} \ne {z_A}\), hãy viết phương trình chính tắc của \(d\).
Phương pháp giải:
a) Tìm vectơ \(\overrightarrow {AB} \), sau đó xác định xem vectơ này có phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
b) Sử dụng tọa độ của điểm \(A\) hoặc \(B\) và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) để viết phương trình tham số của đường thẳng.
c) Sử dụng tỉ số giữa các tọa độ và vectơ chỉ phương để viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\):
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) được xác định bởi:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\)
Hai điểm A, B đều thuộc đường thẳng d nên vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cũng nằm trên đường thẳng d. Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\):
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_A} + ({x_B} - {x_A})t}\\{y = {y_A} + ({y_B} - {y_A})t}\\{z = {z_A} + ({z_B} - {z_A})t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\):
Giả sử \({x_A} \ne {x_B},{y_A} \ne {y_B},{z_A} \ne {z_B}\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:
\(\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} = \frac{{z - {z_A}}}{{{z_B} - {z_A}}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với \(A(2; - 3;4)\), \(B( - 4;5;0)\). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng AB và đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ O của tam giác OAB.
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, chính là vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB dựa trên điểm A hoặc B và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \). Từ phương trình tham số, lập phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
- Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường thẳng đi qua O và M dựa trên tọa độ hai điểm này.
Lời giải chi tiết:
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
\(\overrightarrow {AB} = B - A = ( - 4 - 2;5 + 3;0 - 4) = ( - 6;8; - 4)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \(A(2; - 3;4)\) và có vectơ chỉ phương \(( - 6;8; - 4)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 6t}\\{y = - 3 + 8t}\\{z = 4 - 4t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:
\(\frac{{x - 2}}{{ - 6}} = \frac{{y + 3}}{8} = \frac{{z - 4}}{{ - 4}}\)
Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:
\(M = \left( {\frac{{2 + ( - 4)}}{2};\frac{{ - 3 + 5}}{2};\frac{{4 + 0}}{2}} \right) = ( - 1;1;2)\)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(O(0;0;0)\) và \(M( - 1;1;2)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - t}\\{y = t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
\(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Anh Bình là một nhiếp ảnh gia chuyên săn ảnh chim hoang dã. Giả sử với hệ trục Oxyz cho trước, anh Bình đang ngắm và ống kính ở vị trí A có tọa độ \((200;685;436)\) thì có một con gà lôi tía xuất hiện ở vị trí B có tọa độ \((640;550;474)\).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa đoạn thẳng nối hai vị trí ống kính ngắm của anh Bình và con gà lôi tía.
b) Nếu một quả đồi có tọa độ đỉnh C là \((420;617,5;450)\). Hỏi C có thuộc đường ngắm AB không? Anh Bình có ngắm thấy con gà lôi tía này không?
Phương pháp giải:
a) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Thay toạ độ C vào phương trình tham số của đường thẳng AB. Xác định giá trị tham số t và kiểm tra xem các tọa độ của C có thỏa mãn không.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} = (640 - 200;550 - 685;474 - 436) = (440; - 135;38)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \(A(200;685;436)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (440; - 135;38)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200 + 440t}\\{y = 685 - 135t}\\{z = 436 + 38t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
b) Thay tọa độ của \(C\) vào phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{420 = 200 + 440t}\\{617.5 = 685 - 135t}\\{450 = 436 + 38t}\end{array}} \right.\)
Giải phương trình:
\(t = \frac{{420 - 200}}{{440}} = \frac{{220}}{{440}} = 0.5\)
\(t = \frac{{685 - 617.5}}{{135}} = \frac{{67.5}}{{135}} = 0.5\)
\(t = \frac{{450 - 436}}{{38}} = \frac{{14}}{{38}} \approx 0.368\)
Kết luận: Giá trị \(t\) không giống nhau cho cả ba phương trình, do đó điểm \(C\) không thuộc đường thẳng AB. Và vì \(450 < 436 + 38.0,5 = 455\) nên C thấp hơn đường thẳng AB. Vậy quả đồi không chắn tầm nhìn nên anh Bình có thể ngắm thấy con gà lôi tía này.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5.17). Tìm bốn vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Phương pháp giải:
Tìm tất cả các cạnh song song hoặc trùng với cạnh AB.
Tìm các vectơ tương ứng với các cạnh đó, chính là các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đầu tiên là \(\overrightarrow {AB} \).
Các cạnh song song với AB gồm: A’B’, C’D’, CD.
Các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \)có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} ,\quad \overrightarrow {A'B'} ,\quad \overrightarrow {CD} ,\quad \overrightarrow {C'D'} ,\quad \overrightarrow {BA} ,\quad \overrightarrow {B'A'} ,\quad \overrightarrow {DC} ,\quad \overrightarrow {D'C'} \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Giả sử \(M(x;y;z)\) là một điểm bất kỳ trên \(d\)(Hình 5.18). Ta biết \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cùng phương với \(\vec a\) nên tồn tại số thực \(t\) sao cho \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\).
a) Hãy tính tọa độ điểm \(M\) theo \({x_0},{y_0},{z_0},{a_1},{a_2},{a_3},t\).
b) Bạn An cho rằng điều kiện cần và đủ để \(M(x;y;z) \in d\) là:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\]
Bạn An phát biểu đúng hay không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Do \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\), ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}M} = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)
Từ đó dẫn đến hệ phương trình:
\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Do \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\), ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}M} = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)
Dẫn đến hệ phương trình:
\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)
Vậy tọa độ của điểm \(M\) là:
\(M({x_0} + t{a_1},{y_0} + t{a_2},{z_0} + t{a_3})\)
b)
Vì d và \({M_0}M\) đều cùng song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \) nên d và \({M_0}M\) song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác \({M_0} \in d\) suy ra \(M \in d\).
Vậy phát biểu của bạn An là đúng. Điều kiện để \(M(x,y,z) \in d\) là tồn tại t sao cho hệ phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + t{a_1}}\\{y = {y_0} + t{a_2}}\\{z = {z_0} + t{a_3}}\end{array}} \right.\)
được thoả mãn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trong các điểm S, A, B, C, D đã cho và là vectơ chỉ phương của d.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa của vectơ chỉ phương: “Cho đường thẳng d, một vecto \(\overrightarrow u \)được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu \(\overrightarrow u \) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.”
Lời giải chi tiết:
Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng d song song với hai cạnh đáy AB và CD.
Suy ra vectơ chỉ phương của d là: \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {DC} \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5.17). Tìm bốn vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Phương pháp giải:
Tìm tất cả các cạnh song song hoặc trùng với cạnh AB.
Tìm các vectơ tương ứng với các cạnh đó, chính là các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đầu tiên là \(\overrightarrow {AB} \).
Các cạnh song song với AB gồm: A’B’, C’D’, CD.
Các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \)có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} ,\quad \overrightarrow {A'B'} ,\quad \overrightarrow {CD} ,\quad \overrightarrow {C'D'} ,\quad \overrightarrow {BA} ,\quad \overrightarrow {B'A'} ,\quad \overrightarrow {DC} ,\quad \overrightarrow {D'C'} \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trong các điểm S, A, B, C, D đã cho và là vectơ chỉ phương của d.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa của vectơ chỉ phương: “Cho đường thẳng d, một vecto \(\overrightarrow u \)được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu \(\overrightarrow u \) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.”
Lời giải chi tiết:
Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng d song song với hai cạnh đáy AB và CD.
Suy ra vectơ chỉ phương của d là: \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {DC} \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Giả sử \(M(x;y;z)\) là một điểm bất kỳ trên \(d\)(Hình 5.18). Ta biết \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cùng phương với \(\vec a\) nên tồn tại số thực \(t\) sao cho \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\).
a) Hãy tính tọa độ điểm \(M\) theo \({x_0},{y_0},{z_0},{a_1},{a_2},{a_3},t\).
b) Bạn An cho rằng điều kiện cần và đủ để \(M(x;y;z) \in d\) là:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\]
Bạn An phát biểu đúng hay không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Do \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\), ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}M} = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)
Từ đó dẫn đến hệ phương trình:
\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Do \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\), ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}M} = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)
Dẫn đến hệ phương trình:
\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)
Vậy tọa độ của điểm \(M\) là:
\(M({x_0} + t{a_1},{y_0} + t{a_2},{z_0} + t{a_3})\)
b)
Vì d và \({M_0}M\) đều cùng song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \) nên d và \({M_0}M\) song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác \({M_0} \in d\) suy ra \(M \in d\).
Vậy phát biểu của bạn An là đúng. Điều kiện để \(M(x,y,z) \in d\) là tồn tại t sao cho hệ phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + t{a_1}}\\{y = {y_0} + t{a_2}}\\{z = {z_0} + t{a_3}}\end{array}} \right.\)
được thoả mãn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\).
a) Viết phương trình tham số của \(d\).
b) Tìm điểm \(M\) thuộc \(d\) biết \(OM = 7\).
Phương pháp giải:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)
Với \({M_0} = A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), thay vào ta được phương trình tham số của \(d\).
b) Tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) từ phương trình tham số của \(d\). Dùng điều kiện \(OM = 7\), tức là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\), ta có:
\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = 7\)
Thay các tọa độ của \(M(x(t),y(t),z(t))\) từ phương trình tham số vào, rồi giải phương trình để tìm \(t\), từ đó suy ra tọa độ của \(M\).
Lời giải chi tiết:
a)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Với \(A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 2t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
b)
Điểm \(M\) có tọa độ \((x,y,z)\) thuộc đường thẳng \(d\), nên tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) như sau:
\(M(6 + 2t, - 2 + 2t,3 - t)\)
Điều kiện \(OM = 7\) nghĩa là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\) bằng 7:
\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = 7\)
Thay tọa độ của \(M\) vào phương trình khoảng cách:
\(OM = \sqrt {{{(6 + 2t)}^2} + {{( - 2 + 2t)}^2} + {{(3 - t)}^2}} = 7\)
Bình phương hai vế:
\({(6 + 2t)^2} + {( - 2 + 2t)^2} + {(3 - t)^2} = 49\)
\({(6 + 2t)^2} = 36 + 24t + 4{t^2}\)
\({( - 2 + 2t)^2} = 4 - 8t + 4{t^2}\)
\({(3 - t)^2} = 9 - 6t + {t^2}\)
\((36 + 24t + 4{t^2}) + (4 - 8t + 4{t^2}) + (9 - 6t + {t^2}) = 49\)
\(49 + 10t + 9{t^2} = 49\)
\(10t + 9{t^2} = 0\)
\(t(9t + 10) = 0\)
Do đó, ta có hai nghiệm: \(t = 0\) và \(t = - \frac{{10}}{9}\)
Với \(t = 0\), tọa độ của \(M\) là:
\(M(6 + 2 \cdot 0, - 2 + 2 \cdot 0,3 - 0) = M(6, - 2,3)\)
Với \(t = - \frac{{10}}{9}\), tọa độ của \(M\) là:
\(M\left( {6 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right), - 2 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right),3 - \left( { - \frac{{10}}{9}} \right)} \right)\)
\(M\left( {6 - \frac{{20}}{9}, - 2 - \frac{{20}}{9},3 + \frac{{10}}{9}} \right) = M\left( {\frac{{54}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{ - 18}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{27}}{9} + \frac{{10}}{9}} \right)\)
\(M\left( {\frac{{34}}{9},\frac{{ - 38}}{9},\frac{{37}}{9}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) qua \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Phương trình tham số của đường thẳng là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Giả sử \({a_1},{a_2},{a_3}\) đều khác 0. Hãy tính các tỉ số \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}},\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}},\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) theo \(t\) và so sánh các tỉ số này.
Phương pháp giải:
Tính các tỉ số \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}},\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}},\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) theo \(t\) và so sánh các tỉ số này.
Lời giải chi tiết:
Từ phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)
Ta có:
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t\)
Các tỉ số này đều bằng \(t\), điều này chứng tỏ tất cả các tỉ số này bằng nhau, và đường thẳng \(d\) có thể viết dưới dạng phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N( - 2;3;1)\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3; - 4;5)\).
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\).
b) Tìm điểm \(A\) thuộc \(d\) biết \(A\) có hoành độ bằng 4.
Phương pháp giải:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng và các tỉ số giữa tọa độ của điểm trên đường thẳng với tọa độ của điểm qua và các thành phần của vectơ chỉ phương.
b) Tìm điểm thuộc đường thẳng: Sử dụng điều kiện hoành độ của A để tìm tham số \(t\) trong phương trình tham số của đường thẳng. Từ đó tính ra tọa độ của điểm cần tìm.
Lời giải chi tiết:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\):
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 3t}\\{y = 3 - 4t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:
\(\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{5}\)
b) Tìm điểm \(A\) thuộc \(d\) biết hoành độ của A là 4:
Điểm \(A\) thuộc \(d\) có tọa độ \(A(4;y;z)\).
Suy ra: \(t = \frac{{4 + 2}}{3} = 2\)
\(y = 3 - 4.2 = - 5\) và \(z = 1 + 5.2 = 11\)
Vậy điểm A có toạ độ là \(A(4; - 5;11)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) qua hai điểm phân biệt \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\).
a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không? Vì sao?
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\).
c) Giả sử \({x_B} \ne {x_A},{y_B} \ne {y_A}\) và \({z_B} \ne {z_A}\), hãy viết phương trình chính tắc của \(d\).
Phương pháp giải:
a) Tìm vectơ \(\overrightarrow {AB} \), sau đó xác định xem vectơ này có phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
b) Sử dụng tọa độ của điểm \(A\) hoặc \(B\) và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) để viết phương trình tham số của đường thẳng.
c) Sử dụng tỉ số giữa các tọa độ và vectơ chỉ phương để viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\):
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) được xác định bởi:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\)
Hai điểm A, B đều thuộc đường thẳng d nên vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cũng nằm trên đường thẳng d. Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\):
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_A} + ({x_B} - {x_A})t}\\{y = {y_A} + ({y_B} - {y_A})t}\\{z = {z_A} + ({z_B} - {z_A})t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\):
Giả sử \({x_A} \ne {x_B},{y_A} \ne {y_B},{z_A} \ne {z_B}\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:
\(\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} = \frac{{z - {z_A}}}{{{z_B} - {z_A}}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với \(A(2; - 3;4)\), \(B( - 4;5;0)\). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng AB và đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ O của tam giác OAB.
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, chính là vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB dựa trên điểm A hoặc B và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \). Từ phương trình tham số, lập phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
- Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường thẳng đi qua O và M dựa trên tọa độ hai điểm này.
Lời giải chi tiết:
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
\(\overrightarrow {AB} = B - A = ( - 4 - 2;5 + 3;0 - 4) = ( - 6;8; - 4)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \(A(2; - 3;4)\) và có vectơ chỉ phương \(( - 6;8; - 4)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 6t}\\{y = - 3 + 8t}\\{z = 4 - 4t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:
\(\frac{{x - 2}}{{ - 6}} = \frac{{y + 3}}{8} = \frac{{z - 4}}{{ - 4}}\)
Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:
\(M = \left( {\frac{{2 + ( - 4)}}{2};\frac{{ - 3 + 5}}{2};\frac{{4 + 0}}{2}} \right) = ( - 1;1;2)\)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(O(0;0;0)\) và \(M( - 1;1;2)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - t}\\{y = t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
\(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Anh Bình là một nhiếp ảnh gia chuyên săn ảnh chim hoang dã. Giả sử với hệ trục Oxyz cho trước, anh Bình đang ngắm và ống kính ở vị trí A có tọa độ \((200;685;436)\) thì có một con gà lôi tía xuất hiện ở vị trí B có tọa độ \((640;550;474)\).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa đoạn thẳng nối hai vị trí ống kính ngắm của anh Bình và con gà lôi tía.
b) Nếu một quả đồi có tọa độ đỉnh C là \((420;617,5;450)\). Hỏi C có thuộc đường ngắm AB không? Anh Bình có ngắm thấy con gà lôi tía này không?
Phương pháp giải:
a) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Thay toạ độ C vào phương trình tham số của đường thẳng AB. Xác định giá trị tham số t và kiểm tra xem các tọa độ của C có thỏa mãn không.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} = (640 - 200;550 - 685;474 - 436) = (440; - 135;38)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \(A(200;685;436)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (440; - 135;38)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200 + 440t}\\{y = 685 - 135t}\\{z = 436 + 38t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
b) Thay tọa độ của \(C\) vào phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{420 = 200 + 440t}\\{617.5 = 685 - 135t}\\{450 = 436 + 38t}\end{array}} \right.\)
Giải phương trình:
\(t = \frac{{420 - 200}}{{440}} = \frac{{220}}{{440}} = 0.5\)
\(t = \frac{{685 - 617.5}}{{135}} = \frac{{67.5}}{{135}} = 0.5\)
\(t = \frac{{450 - 436}}{{38}} = \frac{{14}}{{38}} \approx 0.368\)
Kết luận: Giá trị \(t\) không giống nhau cho cả ba phương trình, do đó điểm \(C\) không thuộc đường thẳng AB. Và vì \(450 < 436 + 38.0,5 = 455\) nên C thấp hơn đường thẳng AB. Vậy quả đồi không chắn tầm nhìn nên anh Bình có thể ngắm thấy con gà lôi tía này.
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1, trang 54, 55, 56, 57, 58, 59, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề và áp dụng vào thực tế.
(Nội dung bài tập 1 và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập 2 và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập 3 và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập 4 và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập 5 và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập 6 và lời giải chi tiết)
Trong quá trình giải các bài tập trong mục 1, các em sẽ gặp một số phương pháp giải toán thường gặp như:
Để giải bài tập một cách hiệu quả, các em cần lưu ý những điều sau:
Kiến thức và kỹ năng trong mục 1 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và thực tế cuộc sống. Ví dụ, kiến thức về phương trình và hệ phương trình được sử dụng trong việc giải quyết các bài toán về kinh tế, kỹ thuật và khoa học. Kiến thức về hàm số được sử dụng trong việc mô tả và phân tích các hiện tượng tự nhiên và xã hội.
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 54, 55, 56, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
| Bài tập | Trang | Độ khó |
|---|---|---|
| Bài 1 | 54 | Dễ |
| Bài 2 | 55 | Trung bình |
| Bài 3 | 56 | Khó |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
