Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 22, 23, 24, 25, 26 SGK Toán 12 tập 2 trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu cho từng bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ tối đa cho các em học sinh trên con đường chinh phục môn Toán.
Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = x - 3), trục hoành và các đường thẳng (x = 1) và (x = 6).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 3,x = 2\).
Phương pháp giải:
- Xác định ình phẳng cần tính diện tích.
- Phân tích dấu của hàm \(y = {x^3}\).
- Tìm biểu thức diện tích tổng quát.
- Tính các tích phân dựa trên biểu thức diện tích tổng quát.
Lời giải chi tiết:
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành \(y = 0\), và hai đường thẳng \(x = - 3\) và \(x = 2\). Tại các khoảng khác nhau, đồ thị có thể nằm bên trên hoặc bên dưới trục hoành, nên cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối \(|{x^3}|\) để đảm bảo kết quả diện tích là dương.
- Từ \(x = - 3\) đến \(x = 0\), \(y = {x^3}\) là âm.
- Từ \(x = 0\) đến \(x = 2\), \(y = {x^3}\) là dương.
Diện tích hình phẳng được tính bằng cách lấy tích phân của \(|{x^3}|\) từ \(x = - 3\) đến \(x = 2\)
\(S = \int_{ - 3}^0 - {x^3}{\mkern 1mu} dx + \int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx\)
Trong khoảng \(x \in [ - 3,0]\), đổi dấu hàm số \({x^3}\) để đảm bảo diện tích là dương.
Tích phân của \( - {x^3}\) trong khoảng \([ - 3,0]\):
\(\int_{ - 3}^0 - {x^3}{\mkern 1mu} dx = - \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_{ - 3}^0 = - \left( {\frac{{{0^4}}}{4} - \frac{{{{( - 3)}^4}}}{4}} \right) = - \left( {0 - \frac{{81}}{4}} \right) = \frac{{81}}{4}\)
Tích phân của \({x^3}\) trong khoảng \(\left[ {0,{\rm{ }}2} \right]\):
\(\int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^2 = \frac{{{2^4}}}{4} - \frac{{{0^4}}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4\)
Diện tích tổng cộng là tổng của hai kết quả tích phân:
\(S = \frac{{81}}{4} + 4 = \frac{{81}}{4} + \frac{{16}}{4} = \frac{{97}}{4}\)
Vậy, diện tích của hình phẳng là:
\(S = \frac{{97}}{4} = 24.25\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x - 3\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\) và \(x = 6\).
a) Tính diện tích của (H).
b) Tính các tích phân \(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx\) và \(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx\). So sánh hai tích phân này với kết quả tính được ở câu a và rút ra nhận xét.
Phương pháp giải:
a)
Diện tích (H) có thể tính bằng cách cộng diện tích của hai tam giác. Diện tích của tam giác được tính bằng công thức:
\(S = \frac{1}{2} \times h \times \)đáy
b)
- Tính trực tiếp các tích phân \(\int_1^6 {(x - 3)dx} \) và \(\int_1^6 {\left| {x - 3} \right|dx} \).
- So sánh kết quả của hai tích phân này với diện tích tính được ở câu a để rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a)
Hình phẳng (H) trong đề bài là hai hình tam giác vuông, với các cạnh là:
- Đáy của tam giác thứ nhất: \(6 - 3 = 3\)
- Chiều cao của tam giác thứ nhất: \(3 - 0 = 3\)
- Đáy của tam giác thứ hai: \(3 - 1 = 2\)
- Chiều cao của tam giác thứ nhất: \(0 - ( - 2) = 2\)
Diện tích tam giác được tính theo công thức:
\(S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{9}{2} + 2 = 6,5\)
b)
Tính tích phân thứ nhất:
\(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{{(x - 3)}^2}}}{2}} \right]_1^6 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{7}{2} = 2,5\)
Tính tích phân thứ hai:
\(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = \int_1^3 {(3 - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_3^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 2 + \frac{9}{2} = 6,5\)
Nhận xét:
- Tích phân thứ nhất \(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 3.5\) không phản ánh diện tích thực của hình phẳng, vì hàm số nhận giá trị âm trong khoảng từ 1 đến 3.
- Tích phân thứ hai \(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = 6.5\) chính là diện tích hình phẳng tính được ở câu a, vì nó tính giá trị tuyệt đối của hàm số, tức là cả phần âm và phần dương.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng được tô màu trong Hình 4.18.
Phương pháp giải:
- Xác định giao điểm của hai đường \(y = {x^3}\) và \(y = x\) bằng cách giải phương trình: \({x^3} = x\)
- Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong \(y = {x^3}\) và \(y = x\) trong khoảng từ \(x = - 1\) đến \(x = 1\) được tính bằng:
\(S = \int_{ - 1}^1 | x - {x^3}|{\mkern 1mu} dx\)
Lời giải chi tiết:
Giao điểm của hai đường \(y = {x^3}\) và \(y = x\) là:
\({x^3} = x \Leftrightarrow x({x^2} - 1) = 0\)
Suy ra: \(x = 0\), \(x = 1\), và \(x = - 1\).
Vì trên khoảng từ \( - 1\) đến 0, \(y = {x^3}\) nằm trên \(y = x\), và trên khoảng từ 0 đến 1, \(y = x\) nằm trên \(y = {x^3}\), ta có:
\(S = \int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 1}^0 = \left( {0 - 0} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
\(\int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^1 = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{4}\)
Vậy diện tích hình phẳng là:
\(S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai hàm số \(f(x) = 6 - x\), \(g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1\).
a) Tính \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right).\)
b) Tính \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right).\)
c) Qua \({S_1},\,\,{S_2}\) tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
\(y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\). (phần hình phẳng được gạch chéo trong Hình 4.15).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích \({S_1}\) bằng cách lấy tích phân của hàm số \(f(x) = 6 - x\) từ \(x = 1\) đến \(x = 3\)
b) Tính diện tích \({S_2}\) bằng cách lấy tích phân của hàm số \(g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1\) từ \(x = 1\) đến \(x = 3\).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị bằng cách lấy hiệu diện tích \({S_1} - {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính \({S_1}\)
Diện tích \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = f(x)\):
\({S_1} = \int_1^3 {(6 - x)} dx\)
Tính tích phân:
\({S_1} = \left[ {6x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_1^3\)
\({S_1} = \left( {6 \cdot 3 - \frac{{{3^2}}}{2}} \right) - \left( {6 \cdot 1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)\)
\({S_1} = (18 - 4.5) - (6 - 0.5) = 13.5 - 5.5 = 8\)
b) Tính \({S_2}\)
Diện tích \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = g(x)\):
\({S_2} = \int_1^3 {\left( {\frac{1}{6}{x^2} + 1} \right)} dx\)
Tính tích phân:
\({S_2} = \left[ {\frac{1}{6} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right]_1^3\)
\({S_2} = \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{{27}}{3} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} + 1} \right)\)
\({S_2} = \left( {\frac{9}{6} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right)\)
\({S_2} = (1.5 + 3) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right) = 4.5 - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{81}}{{18}} - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{62}}{{18}} \approx 3,44\)
c) Tính diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(f(x)\) và \(g(x)\) trong khoảng \(x = 1\) đến \(x = 3\) là:
\(S = {S_1} - {S_2} = 8 - 3,44 = 4,56\)
Vậy, diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị là \(S = 4,56\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một cái cổng có kích thước như Hình 4.14a. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh \(I(0;2)\) và đi qua điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) như Hình 4.14b. Tính diện tích hai cánh cửa cổng.
Phương pháp giải:
- Xác định phương trình parabol.
- Tính diện tích một cánh cửa cổng bằng cách tính tích phân diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\).
- Nhân diện tích một cánh cửa với 2 để ra diện tích hai cánh cửa cổng.
Lời giải chi tiết:
Xác định phương trình parabol đỉnh \(I(0;2)\) có dạng:
\(y = a{x^2} + 2\)
Sử dụng điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) để tìm hệ số \(a\):
\(\frac{3}{2} = a{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 2\)
Giải ra ta được:
\(a = - \frac{2}{{25}}\)
Vậy phương trình của parabol là:
\(y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\)
Diện tích một cánh cửa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\), được tính bằng tích phân:
\(S = 2\int_0^{\frac{5}{2}} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)} dx\)
Tính tích phân:
\(S = 2\left[ {\left( { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right]_0^{\frac{5}{2}}\)
\(S = 2\left[ { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{125}}{{24}} + 2 \cdot \frac{5}{2}} \right]\)
\(S = 2\left( { - \frac{5}{{12}} + 5} \right) = 2\left( {\frac{{55}}{{12}}} \right) = \frac{{55}}{6}\)
Vậy, diện tích hai cánh cửa cổng là: \(9,167{{\rm{m}}^2}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x - 3\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\) và \(x = 6\).
a) Tính diện tích của (H).
b) Tính các tích phân \(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx\) và \(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx\). So sánh hai tích phân này với kết quả tính được ở câu a và rút ra nhận xét.
Phương pháp giải:
a)
Diện tích (H) có thể tính bằng cách cộng diện tích của hai tam giác. Diện tích của tam giác được tính bằng công thức:
\(S = \frac{1}{2} \times h \times \)đáy
b)
- Tính trực tiếp các tích phân \(\int_1^6 {(x - 3)dx} \) và \(\int_1^6 {\left| {x - 3} \right|dx} \).
- So sánh kết quả của hai tích phân này với diện tích tính được ở câu a để rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a)
Hình phẳng (H) trong đề bài là hai hình tam giác vuông, với các cạnh là:
- Đáy của tam giác thứ nhất: \(6 - 3 = 3\)
- Chiều cao của tam giác thứ nhất: \(3 - 0 = 3\)
- Đáy của tam giác thứ hai: \(3 - 1 = 2\)
- Chiều cao của tam giác thứ nhất: \(0 - ( - 2) = 2\)
Diện tích tam giác được tính theo công thức:
\(S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{9}{2} + 2 = 6,5\)
b)
Tính tích phân thứ nhất:
\(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{{(x - 3)}^2}}}{2}} \right]_1^6 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{7}{2} = 2,5\)
Tính tích phân thứ hai:
\(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = \int_1^3 {(3 - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_3^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 2 + \frac{9}{2} = 6,5\)
Nhận xét:
- Tích phân thứ nhất \(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 3.5\) không phản ánh diện tích thực của hình phẳng, vì hàm số nhận giá trị âm trong khoảng từ 1 đến 3.
- Tích phân thứ hai \(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = 6.5\) chính là diện tích hình phẳng tính được ở câu a, vì nó tính giá trị tuyệt đối của hàm số, tức là cả phần âm và phần dương.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 3,x = 2\).
Phương pháp giải:
- Xác định ình phẳng cần tính diện tích.
- Phân tích dấu của hàm \(y = {x^3}\).
- Tìm biểu thức diện tích tổng quát.
- Tính các tích phân dựa trên biểu thức diện tích tổng quát.
Lời giải chi tiết:
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành \(y = 0\), và hai đường thẳng \(x = - 3\) và \(x = 2\). Tại các khoảng khác nhau, đồ thị có thể nằm bên trên hoặc bên dưới trục hoành, nên cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối \(|{x^3}|\) để đảm bảo kết quả diện tích là dương.
- Từ \(x = - 3\) đến \(x = 0\), \(y = {x^3}\) là âm.
- Từ \(x = 0\) đến \(x = 2\), \(y = {x^3}\) là dương.
Diện tích hình phẳng được tính bằng cách lấy tích phân của \(|{x^3}|\) từ \(x = - 3\) đến \(x = 2\)
\(S = \int_{ - 3}^0 - {x^3}{\mkern 1mu} dx + \int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx\)
Trong khoảng \(x \in [ - 3,0]\), đổi dấu hàm số \({x^3}\) để đảm bảo diện tích là dương.
Tích phân của \( - {x^3}\) trong khoảng \([ - 3,0]\):
\(\int_{ - 3}^0 - {x^3}{\mkern 1mu} dx = - \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_{ - 3}^0 = - \left( {\frac{{{0^4}}}{4} - \frac{{{{( - 3)}^4}}}{4}} \right) = - \left( {0 - \frac{{81}}{4}} \right) = \frac{{81}}{4}\)
Tích phân của \({x^3}\) trong khoảng \(\left[ {0,{\rm{ }}2} \right]\):
\(\int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^2 = \frac{{{2^4}}}{4} - \frac{{{0^4}}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4\)
Diện tích tổng cộng là tổng của hai kết quả tích phân:
\(S = \frac{{81}}{4} + 4 = \frac{{81}}{4} + \frac{{16}}{4} = \frac{{97}}{4}\)
Vậy, diện tích của hình phẳng là:
\(S = \frac{{97}}{4} = 24.25\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một cái cổng có kích thước như Hình 4.14a. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh \(I(0;2)\) và đi qua điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) như Hình 4.14b. Tính diện tích hai cánh cửa cổng.
Phương pháp giải:
- Xác định phương trình parabol.
- Tính diện tích một cánh cửa cổng bằng cách tính tích phân diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\).
- Nhân diện tích một cánh cửa với 2 để ra diện tích hai cánh cửa cổng.
Lời giải chi tiết:
Xác định phương trình parabol đỉnh \(I(0;2)\) có dạng:
\(y = a{x^2} + 2\)
Sử dụng điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) để tìm hệ số \(a\):
\(\frac{3}{2} = a{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 2\)
Giải ra ta được:
\(a = - \frac{2}{{25}}\)
Vậy phương trình của parabol là:
\(y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\)
Diện tích một cánh cửa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\), được tính bằng tích phân:
\(S = 2\int_0^{\frac{5}{2}} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)} dx\)
Tính tích phân:
\(S = 2\left[ {\left( { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right]_0^{\frac{5}{2}}\)
\(S = 2\left[ { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{125}}{{24}} + 2 \cdot \frac{5}{2}} \right]\)
\(S = 2\left( { - \frac{5}{{12}} + 5} \right) = 2\left( {\frac{{55}}{{12}}} \right) = \frac{{55}}{6}\)
Vậy, diện tích hai cánh cửa cổng là: \(9,167{{\rm{m}}^2}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai hàm số \(f(x) = 6 - x\), \(g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1\).
a) Tính \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right).\)
b) Tính \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right).\)
c) Qua \({S_1},\,\,{S_2}\) tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
\(y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\). (phần hình phẳng được gạch chéo trong Hình 4.15).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích \({S_1}\) bằng cách lấy tích phân của hàm số \(f(x) = 6 - x\) từ \(x = 1\) đến \(x = 3\)
b) Tính diện tích \({S_2}\) bằng cách lấy tích phân của hàm số \(g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1\) từ \(x = 1\) đến \(x = 3\).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị bằng cách lấy hiệu diện tích \({S_1} - {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính \({S_1}\)
Diện tích \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = f(x)\):
\({S_1} = \int_1^3 {(6 - x)} dx\)
Tính tích phân:
\({S_1} = \left[ {6x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_1^3\)
\({S_1} = \left( {6 \cdot 3 - \frac{{{3^2}}}{2}} \right) - \left( {6 \cdot 1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)\)
\({S_1} = (18 - 4.5) - (6 - 0.5) = 13.5 - 5.5 = 8\)
b) Tính \({S_2}\)
Diện tích \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = g(x)\):
\({S_2} = \int_1^3 {\left( {\frac{1}{6}{x^2} + 1} \right)} dx\)
Tính tích phân:
\({S_2} = \left[ {\frac{1}{6} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right]_1^3\)
\({S_2} = \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{{27}}{3} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} + 1} \right)\)
\({S_2} = \left( {\frac{9}{6} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right)\)
\({S_2} = (1.5 + 3) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right) = 4.5 - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{81}}{{18}} - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{62}}{{18}} \approx 3,44\)
c) Tính diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(f(x)\) và \(g(x)\) trong khoảng \(x = 1\) đến \(x = 3\) là:
\(S = {S_1} - {S_2} = 8 - 3,44 = 4,56\)
Vậy, diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị là \(S = 4,56\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng được tô màu trong Hình 4.18.
Phương pháp giải:
- Xác định giao điểm của hai đường \(y = {x^3}\) và \(y = x\) bằng cách giải phương trình: \({x^3} = x\)
- Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong \(y = {x^3}\) và \(y = x\) trong khoảng từ \(x = - 1\) đến \(x = 1\) được tính bằng:
\(S = \int_{ - 1}^1 | x - {x^3}|{\mkern 1mu} dx\)
Lời giải chi tiết:
Giao điểm của hai đường \(y = {x^3}\) và \(y = x\) là:
\({x^3} = x \Leftrightarrow x({x^2} - 1) = 0\)
Suy ra: \(x = 0\), \(x = 1\), và \(x = - 1\).
Vì trên khoảng từ \( - 1\) đến 0, \(y = {x^3}\) nằm trên \(y = x\), và trên khoảng từ 0 đến 1, \(y = x\) nằm trên \(y = {x^3}\), ta có:
\(S = \int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 1}^0 = \left( {0 - 0} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
\(\int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^1 = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{4}\)
Vậy diện tích hình phẳng là:
\(S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn ở các chương tiếp theo. Bài viết này sẽ đi sâu vào từng bài tập trong mục 1, trang 22, 23, 24, 25, 26, cung cấp lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng.
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập, bao gồm các bước thực hiện, công thức sử dụng và giải thích rõ ràng)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập, bao gồm các bước thực hiện, công thức sử dụng và giải thích rõ ràng)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập, bao gồm các bước thực hiện, công thức sử dụng và giải thích rõ ràng)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập, bao gồm các bước thực hiện, công thức sử dụng và giải thích rõ ràng)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập, bao gồm các bước thực hiện, công thức sử dụng và giải thích rõ ràng)
Để hiểu sâu hơn về các bài tập trong mục 1, các em cần nắm vững các kiến thức sau:
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để mở rộng kiến thức:
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập, chúng ta cùng xem xét một ví dụ minh họa:
Ví dụ: (Giả định một ví dụ cụ thể)
Lời giải: (Giải ví dụ chi tiết, bao gồm các bước thực hiện và giải thích rõ ràng)
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 22, 23, 24, 25, 26 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
