Giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB).

c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Lời giải chi tiết

a) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\).

Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\):

\({\vec n_{(SBD)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (6;2;3)\)

Phương trình mặt phẳng \((SBD)\): \(6.(x - 0) + 2.(y - 0) + 3.(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Khoảng cách từ \(A(0,0,0)\) đến mặt phẳng \((SBD)\):

\(d = \frac{{|6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {49} }} = \frac{6}{7}\)

b) Tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\).

- Véc-tơ \(\overrightarrow {SA} = (0;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\).

- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là:

\({\vec n_{(SAB)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).0;( - 2).1 - 0.( - 2);0.0 - 0.1) = (0; - 2;0)\)

- Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng SD là \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).

Để tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\), ta sử dụng công thức:

\(\sin \theta = \frac{{|\overrightarrow {SD} \cdot {{\vec n}_{(SAB)}}|}}{{\left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right|}}\)

- Tích vô hướng \(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}}\):

\(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}} = 0.0 + 3.( - 2) + ( - 2).0 = 0 - 6 + 0 = - 6\)

- Độ dài của \(\overrightarrow {SD} \) và \({\vec n_{(SAB)}}\):

\(\left| {\overrightarrow {SD} } \right| = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {0 + 9 + 4} = \sqrt {13} \)

\(\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)

Vậy: \(\sin \theta = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt {13} .2}} = \frac{6}{{2\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)

c) Tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((SCD)\).

- Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SC} = (1;3; - 2)\).

- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\):

\({\vec n_{(SBC)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).3;( - 2).1 - 1.( - 2);1.3 - 0.1) = (6;0;3)\)

- Véc-tơ \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).

- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SCD)\):

\({\vec n_{(SCD)}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (3 \cdot ( - 2) - ( - 2).3;( - 2).0 - ( - 2).1;3.1 - 3.0) = (0;2;3)\)

Để tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng, ta dùng công thức:

\(\cos \alpha = \frac{{|{{\vec n}_{(SBC)}} \cdot {{\vec n}_{(SCD)}}|}}{{\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right|}}\)

- Tích vô hướng \({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}}\):

\({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}} = 6.0 + 0.2 + 3.3 = 0 + 0 + 9 = 9\)

- Độ dài của \({\vec n_{(SBC)}}\) và \({\vec n_{(SCD)}}\):

\(\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| = \sqrt {{6^2} + {0^2} + {3^2}} = \sqrt {36 + 0 + 9} = \sqrt {45} \)

\(\left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {0 + 4 + 9} = \sqrt {13} \)

Vậy: \(\cos \alpha = \frac{{|7|}}{{\sqrt {13} \cdot \sqrt {45} }} = \frac{7}{{\sqrt {585} }}\)