Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 tại toan9.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính các tích phân sau: a) \(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx\) b) \(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) d) \(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)
Đề bài
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx\)
b) \(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\)
c) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
d) \(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các công thức cơ bản về tích phân:
- \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\)
- \(\int {{e^x}} dx = {e^x}\);
- \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)
- Các phép nhân đa thức, các hàm mũ, và lượng giác có thể cần sử dụng các phương pháp đơn giản hóa.
Lời giải chi tiết
a)
\(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx = \int_0^1 {(3{x^2} + 10x + 3)} {\mkern 1mu} dx\)
Tính từng tích phân:
\(\int 3 {x^2}{\mkern 1mu} dx = {x^3},\quad \int 1 0x{\mkern 1mu} dx = 5{x^2},\quad \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x\)
Vậy tích phân là:
\(\left[ {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right]_0^1 = 9\)
b)
\(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính từng tích phân:
\(\int {{3^{x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}}\)
\(\int 2 {e^x}{\mkern 1mu} dx = 2{e^x}\)
Tích phân là:
\(\left[ {\frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}} - 2{e^x}} \right]_{ - 5}^0 = \left( {\frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} - 2{e^0}} \right) - \left( {\frac{{{3^{ - 4}}}}{{\ln 3}} - 2{e^{ - 5}}} \right)\)
c)
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Đầu tiên, ta sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức:
\(\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{(2{{\cos }^2}x - 1)}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\)
Ta tách thành hai phần:
\(I = 2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx - \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \left[ { - \cot x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} dx = 4.\left[ { - \frac{1}{2}\cot 2x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} = 4.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)
Cuối cùng, kết quả của tích phân là:
\(I = 0\)
d)
\(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng tích phân của hàm mũ:
\(\int {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\int {({6^x})} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}\)
Tính tích phân:
\(\left[ {\frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}} \right]_1^2 = \frac{{{6^2}}}{{3\ln 6}} - \frac{6}{{3\ln 6}} = \frac{{12}}{{\ln 3}} - \frac{2}{{\ln 6}} = \frac{{10}}{{\ln 6}}\)
Bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc ứng dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế và kỹ thuật. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, điểm uốn, và khảo sát hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng nhất là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này bao gồm việc xác định hàm số cần khảo sát, khoảng xác định của hàm số, và các yêu cầu cụ thể như tìm cực trị, điểm uốn, hoặc giải phương trình, bất phương trình liên quan đến hàm số.
Giả sử bài tập 4.27 yêu cầu khảo sát hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước giải đã nêu ở trên:
Các bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và sản xuất, như:
Bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững các bước giải và thực hành giải nhiều bài tập tương tự, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến đạo hàm.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
