Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 26, 27, 28, 29, 30 SGK Toán 12 tập 2 trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của toan9.edu.vn đã biên soạn bài giải này một cách cẩn thận, kèm theo các ví dụ minh họa và lời giải thích chi tiết.
Trong không gian Oxyz, cho một khối nón có đỉnh \(O\), chiều cao bằng 8, bán kính đáy bằng 3, và có trục trùng với Ox. Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x\) (\(0 \le x \le 8\)) thì phần chung giữa mặt phẳng và khối nón là một hình tròn có diện tích \(S(x)\) thay đổi theo \(x\) (Hình 4.19) (khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón kể cả hình nón đó).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 2\) và \(x = 4\), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x{\mkern 1mu} (2 \le x \le 4)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể là một hình vuông có độ dài cạnh bằng \(\sqrt {{x^2} - 2} \).
Phương pháp giải:
Để tính thể tích của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 2\) và \(x = 4\), ta sử dụng phương pháp tích phân thể tích theo mặt cắt ngang. Mặt cắt tại mỗi \(x\) là một hình vuông có cạnh phụ thuộc vào \(x\). Thể tích của vật thể sẽ bằng tích phân diện tích của các mặt cắt đó dọc theo trục \(x\).
Lời giải chi tiết:
Diện tích mặt cắt tại vị trí \(x\) là diện tích hình vuông có cạnh \(\sqrt {{x^2} - 2} \).
Diện tích của mặt cắt này là:
\(A(x) = {\left( {\sqrt {{x^2} - 2} } \right)^2} = {x^2} - 2\)
Thể tích của vật thể là tích phân diện tích các mặt cắt theo \(x\) từ \(x = 2\) đến \(x = 4\):
\(V = \int_2^4 A (x){\mkern 1mu} dx = \int_2^4 {\left( {{x^2} - 2} \right)} {\mkern 1mu} dx\)
Chia tích phân thành hai phần:
\(V = \int_2^4 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx - \int_2^4 2 {\mkern 1mu} dx\)
Tính từng tích phân:
- Tích phân của \({x^2}\):
\(\int_2^4 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_2^4 = \frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{2^3}}}{3} = \frac{{64}}{3} - \frac{8}{3} = \frac{{56}}{3}\)
- Tích phân của \(2\):
\(\int_2^4 2 {\mkern 1mu} dx = 2 \times (4 - 2) = 4\)
Vậy thể tích của phần vật thể là:
\(V = \frac{{56}}{3} - 4 = \frac{{56}}{3} - \frac{{12}}{3} = \frac{{44}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Bằng tích phân, tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao h.
Phương pháp giải:
- Xác định hệ trục toạ độ.
- Tìm biểu thức diện tích của các mặt cắt ngang.
- Thiết lập tích phân tính thể tích.
Lời giải chi tiết:
Đặt hệ trục sao cho đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng \(z = 0\) và đỉnh khối chóp nằm trên trục \(z\), tại điểm \((0,0,h)\).
Mỗi mặt cắt ngang song song với đáy tại một độ cao \(z\) tạo thành một hình đồng dạng với đáy. Diện tích của mặt cắt tại độ cao \(z\), ký hiệu là \(S(z)\), tỷ lệ với bình phương của tỷ lệ giữa khoảng cách từ mặt cắt đó đến đỉnh và tổng chiều cao \(h\). Ta có:
\(S(z) = {S_0}{\left( {\frac{{h - z}}{h}} \right)^2}\)
với \({S_0}\) là diện tích đáy.
Thể tích của khối chóp bằng tổng diện tích các mặt cắt ngang theo chiều cao \(z\) từ 0 đến \(h\). Công thức tính thể tích là:
\(V = \int_0^h S (z){\mkern 1mu} dz\)
Thay \(S(z) = {S_0}{\left( {\frac{{h - z}}{h}} \right)^2}\) vào:
\(V = \int_0^h {{S_0}} {\left( {\frac{{h - z}}{h}} \right)^2}dz\)
Đặt \(u = \frac{{h - z}}{h}\), suy ra \(du = - \frac{1}{h}dz\). Giới hạn tích phân thay đổi: khi \(z = 0\), \(u = 1\), và khi \(z = h\), \(u = 0\). Tích phân trở thành:
\(V = {S_0}h\int_0^1 {{u^2}} du\)
Tính tích phân:
\(\int_0^1 {{u^2}} {\mkern 1mu} du = \left[ {\frac{{{u^3}}}{3}} \right]_0^1 = \frac{1}{3}\)
Thể tích của khối chóp là:
\(V = {S_0}h \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}{S_0}h\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 29 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x - 1\), \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 4\).
Phương pháp giải:
Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x - 1\), \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 4\) quanh trục Ox, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Ox.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức tổng quát tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Ox, ta có:
\(V = \int_1^4 {\pi \cdot {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} = \int_1^4 {\pi \cdot \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)} \)
Ta tính từng tích phân riêng lẻ:
\(\int_1^4 x {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right]_1^4 = \frac{{15}}{2}\)
\(\int_1^4 2 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{{28}}{3}\)
\(\int_1^4 1 {\mkern 1mu} dx = 4 - 1 = 3\)
Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \left( {\frac{{15}}{2} - \frac{{28}}{3} + 3} \right) = \frac{7}{6}\pi \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 29 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a,b]\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\). Quay \((H)\) xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay (Hình 4.23). Khi cắt khối tròn xoay bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in [a,b]\), thì phần chung giữa mặt phẳng và khối tròn xoay là một hình tròn bán kính \(f(x)\). Viết công thức tính diện tích hình tròn này, từ đó suy ra công thức tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn để tính diện tích của mặt cắt: \(S = \pi {r^2}\).
- Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng cách tích phân diện tích các mặt cắt từ \(x = a\) đến \(x = b\).
Lời giải chi tiết:
- Với mỗi \(x \in [a,b]\), diện tích của mặt cắt là diện tích hình tròn có bán kính \(f(x)\):
\(A(x) = \pi \cdot {(f(x))^2}\)
- Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng tích phân diện tích của các mặt cắt theo \(x\):
\(V = \int_a^b A (x){\mkern 1mu} dx = \int_a^b \pi \cdot {(f(x))^2}{\mkern 1mu} dx\)
- Đưa \(\pi \) ra ngoài tích phân:
\(V = \pi \int_a^b {(f(} x){)^2}{\mkern 1mu} dx\)
- Công thức tổng quát tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Ox, được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([a,b]\), là:
\(V = \pi \int_a^b {(f(} x){)^2}{\mkern 1mu} dx\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho một khối nón có đỉnh \(O\), chiều cao bằng 8, bán kính đáy bằng 3, và có trục trùng với Ox. Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x\) (\(0 \le x \le 8\)) thì phần chung giữa mặt phẳng và khối nón là một hình tròn có diện tích \(S(x)\) thay đổi theo \(x\) (Hình 4.19) (khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón kể cả hình nón đó).
a) Tính thể tích của khối nón.
b) Viết biểu thức tính \(S(x)\).
c) Tính \(\int_0^8 S (x){\mkern 1mu} dx\) và rút ra nhận xét.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).
b) Tìm bán kính tại điểm \(x\) và từ đó suy ra biểu thức tính \(S(x)\).
c) Tính thể tích bằng cách lấy tích phân của diện tích thiết diện theo \(x\).
Lời giải chi tiết:
a)
Công thức tính thể tích khối nón là:
\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Trong đó, \(r = 3\) và \(h = 8\). Vậy:
\(V = \frac{1}{3}\pi ({3^2})(8) = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi \)
Vậy thể tích của khối nón là \(24\pi \).
b)
Bán kính tại điểm \(x\) có thể tính từ tỉ lệ:
\(\frac{{r(x)}}{x} = \frac{3}{8}\)
Suy ra:
\(r(x) = \frac{{3x}}{8}\)
Diện tích thiết diện là:
\(S(x) = \pi r{(x)^2} = \pi {\left( {\frac{{3x}}{8}} \right)^2} = \frac{{9\pi {x^2}}}{{64}}\)
c)
Tính thể tích bằng cách lấy tích phân của diện tích thiết diện theo \(x\):
\(V = \int_0^8 S (x){\mkern 1mu} dx = \int_0^8 {\frac{{9\pi {x^2}}}{{64}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(V = \frac{{9\pi }}{{64}}\int_0^8 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{9\pi }}{{64}}\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^8 = \frac{{9\pi }}{{64}} \cdot \frac{{{8^3}}}{3} = \frac{{9\pi }}{{64}} \cdot \frac{{512}}{3}\)
\(V = \frac{{9\pi \cdot 512}}{{64 \cdot 3}} = \frac{{4608\pi }}{{192}} = 24\pi \)
Vậy kết quả tích phân là \(24\pi \), khớp với thể tích tính theo công thức chuẩn.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một thùng rượu vang có dạng khối tròn xoay với bán kính mặt đáy và mặt ở trên là 33 cm, bán kính mặt cắt ở chính giữa thùng là 43 cm. Chiều cao của thùng rượu là 112 cm, bao gồm phần thân thùng rượu, hai đế đỡ thùng rượu (mỗi đế cao 3 cm) và thùng rượu được ghép từ các thanh gỗ sồi với độ dày mỗi thanh gỗ là 3 cm (Hình 4.25a và Hình 4.25b). Hình 4.25c mô phỏng phần bên trong thùng rượu có dạng một khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của parabo \((P):y = a{x^2} + bx + c\) quanh trục hoành.
a) Tìm \(a\), \(b\), \(c\).
b) Hỏi thùng rượu chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu?
Phương pháp giải:
a) Xác định phương trình parabola từ các điều kiện:
- \(y(0) = 40\)
- \(y(50) = 30\)
b) Tính thể tích khối tròn xoay từ công thức tích phân:
\(V = \pi \int_{ - 50}^{50} {{{\left( {f(x)} \right)}^2}} dx\)
Chuyển kết quả sang đơn vị lít.
Lời giải chi tiết:
a) Tìm \(a\), \(b\), \(c\):
- Phương trình parabola có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\).
- Dựa vào các điều kiện:
\(y(0) = 40\quad \Rightarrow \quad c = 40\)
\(y(50) = 30\quad \Rightarrow \quad a{(50)^2} + b(50) + 40 = 30\)
\(2500a + 50b = - 10\quad (1)\)
\(y( - 50) = 30\quad \Rightarrow \quad 2500a - 50b = - 10\quad (2)\)
- Giải hệ phương trình (1) và (2) cho \(a\) và \(b\):
\(a = \frac{{ - 1}}{{250}},\quad b = 0\)
- Vậy phương trình của parabol là:
\(y = \frac{{ - 1}}{{250}}{x^2} + 40\)
b) Tính thể tích:
- Công thức thể tích:
\(V = 2\pi \int_0^{50} {{{\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)}^2}} dx\)
- Áp dụng hằng đẳng thức:
\({\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)^2} = \frac{1}{{62500}}{x^4} - \frac{8}{{25}}{x^2} + 1600\)
- Tính các tích phân:
\(\int_0^{50} {{x^4}} {\mkern 1mu} dx = 62500000,\quad \int_0^{50} {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{125000}}{3},\quad \int_0^{50} 1 {\mkern 1mu} dx = 50\)
- Thể tích:
\(V = 2\pi \left( {\frac{1}{{62500}}.62500000 - \frac{8}{{25}} \cdot \frac{{125000}}{3} + 1600.50} \right) = \frac{{406000}}{3}{\mkern 1mu} \pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
- Đổi sang lít:
\(V = \frac{{406}}{3}\pi {\mkern 1mu} ({\rm{lít}})\)
Vậy thùng chứa được khoảng \(425,16\) lít rượu.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho một khối nón có đỉnh \(O\), chiều cao bằng 8, bán kính đáy bằng 3, và có trục trùng với Ox. Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x\) (\(0 \le x \le 8\)) thì phần chung giữa mặt phẳng và khối nón là một hình tròn có diện tích \(S(x)\) thay đổi theo \(x\) (Hình 4.19) (khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón kể cả hình nón đó).
a) Tính thể tích của khối nón.
b) Viết biểu thức tính \(S(x)\).
c) Tính \(\int_0^8 S (x){\mkern 1mu} dx\) và rút ra nhận xét.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).
b) Tìm bán kính tại điểm \(x\) và từ đó suy ra biểu thức tính \(S(x)\).
c) Tính thể tích bằng cách lấy tích phân của diện tích thiết diện theo \(x\).
Lời giải chi tiết:
a)
Công thức tính thể tích khối nón là:
\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Trong đó, \(r = 3\) và \(h = 8\). Vậy:
\(V = \frac{1}{3}\pi ({3^2})(8) = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi \)
Vậy thể tích của khối nón là \(24\pi \).
b)
Bán kính tại điểm \(x\) có thể tính từ tỉ lệ:
\(\frac{{r(x)}}{x} = \frac{3}{8}\)
Suy ra:
\(r(x) = \frac{{3x}}{8}\)
Diện tích thiết diện là:
\(S(x) = \pi r{(x)^2} = \pi {\left( {\frac{{3x}}{8}} \right)^2} = \frac{{9\pi {x^2}}}{{64}}\)
c)
Tính thể tích bằng cách lấy tích phân của diện tích thiết diện theo \(x\):
\(V = \int_0^8 S (x){\mkern 1mu} dx = \int_0^8 {\frac{{9\pi {x^2}}}{{64}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(V = \frac{{9\pi }}{{64}}\int_0^8 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{9\pi }}{{64}}\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^8 = \frac{{9\pi }}{{64}} \cdot \frac{{{8^3}}}{3} = \frac{{9\pi }}{{64}} \cdot \frac{{512}}{3}\)
\(V = \frac{{9\pi \cdot 512}}{{64 \cdot 3}} = \frac{{4608\pi }}{{192}} = 24\pi \)
Vậy kết quả tích phân là \(24\pi \), khớp với thể tích tính theo công thức chuẩn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Bằng tích phân, tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao h.
Phương pháp giải:
- Xác định hệ trục toạ độ.
- Tìm biểu thức diện tích của các mặt cắt ngang.
- Thiết lập tích phân tính thể tích.
Lời giải chi tiết:
Đặt hệ trục sao cho đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng \(z = 0\) và đỉnh khối chóp nằm trên trục \(z\), tại điểm \((0,0,h)\).
Mỗi mặt cắt ngang song song với đáy tại một độ cao \(z\) tạo thành một hình đồng dạng với đáy. Diện tích của mặt cắt tại độ cao \(z\), ký hiệu là \(S(z)\), tỷ lệ với bình phương của tỷ lệ giữa khoảng cách từ mặt cắt đó đến đỉnh và tổng chiều cao \(h\). Ta có:
\(S(z) = {S_0}{\left( {\frac{{h - z}}{h}} \right)^2}\)
với \({S_0}\) là diện tích đáy.
Thể tích của khối chóp bằng tổng diện tích các mặt cắt ngang theo chiều cao \(z\) từ 0 đến \(h\). Công thức tính thể tích là:
\(V = \int_0^h S (z){\mkern 1mu} dz\)
Thay \(S(z) = {S_0}{\left( {\frac{{h - z}}{h}} \right)^2}\) vào:
\(V = \int_0^h {{S_0}} {\left( {\frac{{h - z}}{h}} \right)^2}dz\)
Đặt \(u = \frac{{h - z}}{h}\), suy ra \(du = - \frac{1}{h}dz\). Giới hạn tích phân thay đổi: khi \(z = 0\), \(u = 1\), và khi \(z = h\), \(u = 0\). Tích phân trở thành:
\(V = {S_0}h\int_0^1 {{u^2}} du\)
Tính tích phân:
\(\int_0^1 {{u^2}} {\mkern 1mu} du = \left[ {\frac{{{u^3}}}{3}} \right]_0^1 = \frac{1}{3}\)
Thể tích của khối chóp là:
\(V = {S_0}h \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}{S_0}h\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 2\) và \(x = 4\), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x{\mkern 1mu} (2 \le x \le 4)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể là một hình vuông có độ dài cạnh bằng \(\sqrt {{x^2} - 2} \).
Phương pháp giải:
Để tính thể tích của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 2\) và \(x = 4\), ta sử dụng phương pháp tích phân thể tích theo mặt cắt ngang. Mặt cắt tại mỗi \(x\) là một hình vuông có cạnh phụ thuộc vào \(x\). Thể tích của vật thể sẽ bằng tích phân diện tích của các mặt cắt đó dọc theo trục \(x\).
Lời giải chi tiết:
Diện tích mặt cắt tại vị trí \(x\) là diện tích hình vuông có cạnh \(\sqrt {{x^2} - 2} \).
Diện tích của mặt cắt này là:
\(A(x) = {\left( {\sqrt {{x^2} - 2} } \right)^2} = {x^2} - 2\)
Thể tích của vật thể là tích phân diện tích các mặt cắt theo \(x\) từ \(x = 2\) đến \(x = 4\):
\(V = \int_2^4 A (x){\mkern 1mu} dx = \int_2^4 {\left( {{x^2} - 2} \right)} {\mkern 1mu} dx\)
Chia tích phân thành hai phần:
\(V = \int_2^4 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx - \int_2^4 2 {\mkern 1mu} dx\)
Tính từng tích phân:
- Tích phân của \({x^2}\):
\(\int_2^4 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_2^4 = \frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{2^3}}}{3} = \frac{{64}}{3} - \frac{8}{3} = \frac{{56}}{3}\)
- Tích phân của \(2\):
\(\int_2^4 2 {\mkern 1mu} dx = 2 \times (4 - 2) = 4\)
Vậy thể tích của phần vật thể là:
\(V = \frac{{56}}{3} - 4 = \frac{{56}}{3} - \frac{{12}}{3} = \frac{{44}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 29 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a,b]\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\). Quay \((H)\) xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay (Hình 4.23). Khi cắt khối tròn xoay bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in [a,b]\), thì phần chung giữa mặt phẳng và khối tròn xoay là một hình tròn bán kính \(f(x)\). Viết công thức tính diện tích hình tròn này, từ đó suy ra công thức tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn để tính diện tích của mặt cắt: \(S = \pi {r^2}\).
- Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng cách tích phân diện tích các mặt cắt từ \(x = a\) đến \(x = b\).
Lời giải chi tiết:
- Với mỗi \(x \in [a,b]\), diện tích của mặt cắt là diện tích hình tròn có bán kính \(f(x)\):
\(A(x) = \pi \cdot {(f(x))^2}\)
- Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng tích phân diện tích của các mặt cắt theo \(x\):
\(V = \int_a^b A (x){\mkern 1mu} dx = \int_a^b \pi \cdot {(f(x))^2}{\mkern 1mu} dx\)
- Đưa \(\pi \) ra ngoài tích phân:
\(V = \pi \int_a^b {(f(} x){)^2}{\mkern 1mu} dx\)
- Công thức tổng quát tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Ox, được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([a,b]\), là:
\(V = \pi \int_a^b {(f(} x){)^2}{\mkern 1mu} dx\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 29 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x - 1\), \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 4\).
Phương pháp giải:
Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x - 1\), \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 4\) quanh trục Ox, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Ox.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức tổng quát tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Ox, ta có:
\(V = \int_1^4 {\pi \cdot {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} = \int_1^4 {\pi \cdot \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)} \)
Ta tính từng tích phân riêng lẻ:
\(\int_1^4 x {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right]_1^4 = \frac{{15}}{2}\)
\(\int_1^4 2 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{{28}}{3}\)
\(\int_1^4 1 {\mkern 1mu} dx = 4 - 1 = 3\)
Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \left( {\frac{{15}}{2} - \frac{{28}}{3} + 3} \right) = \frac{7}{6}\pi \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một thùng rượu vang có dạng khối tròn xoay với bán kính mặt đáy và mặt ở trên là 33 cm, bán kính mặt cắt ở chính giữa thùng là 43 cm. Chiều cao của thùng rượu là 112 cm, bao gồm phần thân thùng rượu, hai đế đỡ thùng rượu (mỗi đế cao 3 cm) và thùng rượu được ghép từ các thanh gỗ sồi với độ dày mỗi thanh gỗ là 3 cm (Hình 4.25a và Hình 4.25b). Hình 4.25c mô phỏng phần bên trong thùng rượu có dạng một khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của parabo \((P):y = a{x^2} + bx + c\) quanh trục hoành.
a) Tìm \(a\), \(b\), \(c\).
b) Hỏi thùng rượu chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu?
Phương pháp giải:
a) Xác định phương trình parabola từ các điều kiện:
- \(y(0) = 40\)
- \(y(50) = 30\)
b) Tính thể tích khối tròn xoay từ công thức tích phân:
\(V = \pi \int_{ - 50}^{50} {{{\left( {f(x)} \right)}^2}} dx\)
Chuyển kết quả sang đơn vị lít.
Lời giải chi tiết:
a) Tìm \(a\), \(b\), \(c\):
- Phương trình parabola có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\).
- Dựa vào các điều kiện:
\(y(0) = 40\quad \Rightarrow \quad c = 40\)
\(y(50) = 30\quad \Rightarrow \quad a{(50)^2} + b(50) + 40 = 30\)
\(2500a + 50b = - 10\quad (1)\)
\(y( - 50) = 30\quad \Rightarrow \quad 2500a - 50b = - 10\quad (2)\)
- Giải hệ phương trình (1) và (2) cho \(a\) và \(b\):
\(a = \frac{{ - 1}}{{250}},\quad b = 0\)
- Vậy phương trình của parabol là:
\(y = \frac{{ - 1}}{{250}}{x^2} + 40\)
b) Tính thể tích:
- Công thức thể tích:
\(V = 2\pi \int_0^{50} {{{\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)}^2}} dx\)
- Áp dụng hằng đẳng thức:
\({\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)^2} = \frac{1}{{62500}}{x^4} - \frac{8}{{25}}{x^2} + 1600\)
- Tính các tích phân:
\(\int_0^{50} {{x^4}} {\mkern 1mu} dx = 62500000,\quad \int_0^{50} {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{125000}}{3},\quad \int_0^{50} 1 {\mkern 1mu} dx = 50\)
- Thể tích:
\(V = 2\pi \left( {\frac{1}{{62500}}.62500000 - \frac{8}{{25}} \cdot \frac{{125000}}{3} + 1600.50} \right) = \frac{{406000}}{3}{\mkern 1mu} \pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
- Đổi sang lít:
\(V = \frac{{406}}{3}\pi {\mkern 1mu} ({\rm{lít}})\)
Vậy thùng chứa được khoảng \(425,16\) lít rượu.
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là rất cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp hơn và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Để hiểu rõ hơn về Mục 2, chúng ta cần xác định nội dung chính mà nó đề cập đến. Thông thường, Mục 2 sẽ giới thiệu một khái niệm mới, một định lý quan trọng hoặc một phương pháp giải toán đặc biệt. Các em cần đọc kỹ lý thuyết trong SGK và ghi chép lại những điểm quan trọng.
Bài tập trang 26 thường là những bài tập cơ bản để giúp các em làm quen với kiến thức mới. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập:
Các bài tập trang 27 thường có độ khó cao hơn một chút so với trang 26. Các em cần vận dụng kiến thức đã học và tư duy logic để giải quyết chúng. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập:
Trang 28 tiếp tục cung cấp các bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán. Các em cần chú ý đến các điều kiện của bài toán và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập:
Các bài tập trang 29 thường liên quan đến việc ứng dụng kiến thức vào thực tế. Các em cần hiểu rõ bản chất của bài toán và đưa ra lời giải hợp lý. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập:
Trang 30 thường là trang cuối cùng của Mục 2 và chứa các bài tập tổng hợp. Các em cần ôn lại toàn bộ kiến thức đã học để giải quyết các bài tập này. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập:
Kiến thức trong Mục 2 có ứng dụng rất lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học và thực tế. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để giải các bài toán về hàm số, phương trình, bất phương trình, hình học và thống kê.
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 2 trang 26, 27, 28, 29, 30 SGK Toán 12 tập 2 trên toan9.edu.vn đã giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán Toán 12. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
