Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - SGK Toán 12

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc phân tích và vẽ đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp chúng ta xác định được hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng, từ đó vẽ được đồ thị chính xác hơn.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

• Đường tiệm cận ngang: y = y₀ nếu lim_x→±∞ f(x) = y₀
• Đường tiệm cận đứng: x = x₀ nếu lim_x→x0⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→x0^- f(x) = ±∞
• Đường tiệm cận xiên: y = ax + b (với a ≠ 0) nếu lim_x→±∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0

2. Cách tìm đường tiệm cận

Để tìm đường tiệm cận của một hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm đường tiệm cận ngang: Tính lim_x→±∞ f(x). Nếu giới hạn này là một số thực y₀ thì y = y₀ là đường tiệm cận ngang.
2. Tìm đường tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x₀ sao cho mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0 tại x₀. Khi đó, x = x₀ là đường tiệm cận đứng.
3. Tìm đường tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→±∞ f(x) / x và b = lim_x→±∞ [f(x) - ax] . Nếu a ≠ 0 thì y = ax + b là đường tiệm cận xiên.

3. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

• Đường tiệm cận ngang: lim_x→±∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2. Vậy y = 2 là đường tiệm cận ngang.
• Đường tiệm cận đứng: x - 1 = 0 => x = 1. Vậy x = 1 là đường tiệm cận đứng.
• Đường tiệm cận xiên: Không có đường tiệm cận xiên vì a = 0.

4. Bài tập áp dụng

Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x - 3) / (x + 2)
• y = (x² + 1) / (x - 1)
• y = (2x² + 3x + 1) / (x² - 4)

5. Lưu ý quan trọng

Đường tiệm cận chỉ là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiếp cận, không phải là đường thẳng mà đồ thị hàm số cắt. Trong một số trường hợp, đồ thị hàm số có thể cắt đường tiệm cận.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Chúc các em học tập tốt!