Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp giải pháp học tập Toán 12 hiệu quả và toàn diện. Chúng tôi xin giới thiệu bài giải chi tiết mục 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 1, giúp bạn hiểu rõ kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Bài viết này sẽ cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng và những lưu ý quan trọng để bạn tự tin chinh phục các bài toán Toán 12.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) (y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3) b) (y = f(x) = frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chi tiết máy có dạng khối nón với bán kính đáy là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Người ta cần khoan từ đáy khối nón lên phía trên một khối trụ có bán kính đáy là r (r > 0)và có tâm của đáy trùng tâm của đáy khối nón như Hình 1.32. Xác định r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất.
Phương pháp giải:
- Biểu diễn thể tích khối trụ cần khoan trong khối nón
- Biểu diễn chiều cao h của khối trụ theo bán kính r
- Xác giá trị r để thể tích khối trụ V lớn nhất bằng cách tìm giá trị lớn nhất của V trong khoảng (0, \( + \infty )\).
Lời giải chi tiết:
Ta có thể tích khối trụ là:
\(V = \pi {r^2}h\)
Sử dụng tỷ lệ hình học trong tam giác đồng dạng:
\(\frac{h}{8} = \frac{{6 - r}}{6} \to h = 8.\frac{{6 - r}}{6} = 8 - \frac{{8r}}{6} = 8 - \frac{{4r}}{3}\)
Thay h vào công thức tính thể tích V:
\(V = \pi {r^2}\left( {8 - \frac{{4r}}{3}} \right) = \pi {r^2} \cdot \frac{{24 - 4r}}{3} = \pi \cdot \frac{{24{r^2} - 4{r^3}}}{3} = \frac{\pi }{3}\left( {24{r^2} - 4{r^3}} \right)\)
Đạo hàm V theo r:
\(\frac{{dV}}{{dr}} = \frac{\pi }{3}\left( {48r - 12{r^2}} \right) = \frac{\pi }{3} \cdot 12r(4 - r) = 4\pi r(4 - r)\)
Với \(\frac{{dV}}{{dr}} = 0\) thì ta có 2 nghiệm r là \(r = 0\) hoặc \(r = 4\) (Loại \(r = 0\) vì \(r > 0\))
Lập bảng biến thiên của hàm số \(f(x) = \frac{\pi }{3}\left( {24{x^2} - 4{x^3}} \right)\)
Nhận thấy khi x = 0 thì giá trị của f(x) là lớn nhất
Vậy giá trị bán kính r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất là r = 4cm.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3\)
b) \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 4x + 4 = 0 \leftrightarrow x = 2{\rm{ }}\)hoặc \(x = - \frac{2}{3}\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty - \frac{2}{3})\) và \((2; + \infty )\), đồng biến trên khoảng \(( - \frac{2}{3};2)\).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - \frac{2}{3},{y_{CT}} = - \frac{{121}}{{27}}.\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} = 5.\)
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 3)\).
Giao điểm với trục Ox là \((3,0)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0} \right),\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0} \right)\).
b)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty .\)
Ta có:
\({y^\prime } = {x^2} - 2x + 1\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên R
Cực trị: Vì hàm số đồng biến trên R nên hàm số không có điểm cực trị
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là (0,1).
Giao điểm với trục Ox là (−0.5874,0).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3\)
b) \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 4x + 4 = 0 \leftrightarrow x = 2{\rm{ }}\)hoặc \(x = - \frac{2}{3}\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty - \frac{2}{3})\) và \((2; + \infty )\), đồng biến trên khoảng \(( - \frac{2}{3};2)\).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - \frac{2}{3},{y_{CT}} = - \frac{{121}}{{27}}.\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} = 5.\)
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 3)\).
Giao điểm với trục Ox là \((3,0)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0} \right),\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0} \right)\).
b)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty .\)
Ta có:
\({y^\prime } = {x^2} - 2x + 1\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên R
Cực trị: Vì hàm số đồng biến trên R nên hàm số không có điểm cực trị
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là (0,1).
Giao điểm với trục Ox là (−0.5874,0).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chi tiết máy có dạng khối nón với bán kính đáy là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Người ta cần khoan từ đáy khối nón lên phía trên một khối trụ có bán kính đáy là r (r > 0)và có tâm của đáy trùng tâm của đáy khối nón như Hình 1.32. Xác định r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất.
Phương pháp giải:
- Biểu diễn thể tích khối trụ cần khoan trong khối nón
- Biểu diễn chiều cao h của khối trụ theo bán kính r
- Xác giá trị r để thể tích khối trụ V lớn nhất bằng cách tìm giá trị lớn nhất của V trong khoảng (0, \( + \infty )\).
Lời giải chi tiết:
Ta có thể tích khối trụ là:
\(V = \pi {r^2}h\)
Sử dụng tỷ lệ hình học trong tam giác đồng dạng:
\(\frac{h}{8} = \frac{{6 - r}}{6} \to h = 8.\frac{{6 - r}}{6} = 8 - \frac{{8r}}{6} = 8 - \frac{{4r}}{3}\)
Thay h vào công thức tính thể tích V:
\(V = \pi {r^2}\left( {8 - \frac{{4r}}{3}} \right) = \pi {r^2} \cdot \frac{{24 - 4r}}{3} = \pi \cdot \frac{{24{r^2} - 4{r^3}}}{3} = \frac{\pi }{3}\left( {24{r^2} - 4{r^3}} \right)\)
Đạo hàm V theo r:
\(\frac{{dV}}{{dr}} = \frac{\pi }{3}\left( {48r - 12{r^2}} \right) = \frac{\pi }{3} \cdot 12r(4 - r) = 4\pi r(4 - r)\)
Với \(\frac{{dV}}{{dr}} = 0\) thì ta có 2 nghiệm r là \(r = 0\) hoặc \(r = 4\) (Loại \(r = 0\) vì \(r > 0\))
Lập bảng biến thiên của hàm số \(f(x) = \frac{\pi }{3}\left( {24{x^2} - 4{x^3}} \right)\)
Nhận thấy khi x = 0 thì giá trị của f(x) là lớn nhất
Vậy giá trị bán kính r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất là r = 4cm.
Mục 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 1 thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm của hàm số, bao gồm các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm số cơ bản và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương tiếp theo của môn Toán 12.
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về nội dung của Mục 2 trang 26, chúng ta sẽ cùng nhau giải một số bài tập minh họa:
Giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Giải:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm dừng bằng cách giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 và x = 2
Bước 3: Tính đạo hàm bậc hai y'' = 6x - 6
Bước 4: Xét dấu đạo hàm bậc hai tại các điểm dừng:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong Mục 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 1. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| f(x) = xn | f'(x) = nxn-1 |
| f(x) = sin(x) | f'(x) = cos(x) |
| f(x) = cos(x) | f'(x) = -sin(x) |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
