Giải Bài Tập 2.9 Trang 65 Sgk Toán 12 Tập 1

Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 trên toan9.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7. a) Chứng minh rằng (overrightarrow {NM} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {DC} } right)). b) Từ kết quả câu a, hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {DC} ). c) Tính (left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DC} } right)).

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).

b) Từ kết quả câu a, hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} \).

c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

a) Để chứng minh \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\), ta cần sử dụng tính chất trung điểm và phép cộng vectơ.

b) Sử dụng kết quả từ phần a) để tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \). Áp dụng tính chất “Bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó”.

c) Sử dụng tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \).

\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {DC} |}}\)

Lời giải chi tiết

Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 2

a) Chứng minh \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\):

- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).

- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là: \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BM} \).

Với: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \)

Và: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} } \right)\).

Suy ra: \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).

b) Từ kết quả câu a, tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \):

- Từ câu a, ta có:

\(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} ) \cdot (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).

Biểu thức này mở rộng thành:

\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {DC} )\).

Biết rằng \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = M{N^2} = 49\), \(AB = 10\), \(DC = 6\), ta suy ra:

\(49 = \frac{1}{4}(100 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + 36)\).

\(49 = \frac{1}{4}(136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} )\).

\(196 = 136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \).

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} = 30\).

c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\):

- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:

\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {DC} |}}\).

\(\cos \theta = \frac{{30}}{{10 \cdot 6}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\theta = {60^\circ }\).

Bứt phá ngoạn mục tại Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán với chiến lược ôn luyện hiệu quả và toàn diện! Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá – nội dung trọng tâm thuộc chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng môn toán. Bộ tài liệu lý thuyết toán thpt được biên soạn kỹ lưỡng, bám sát chương trình Toán lớp 12 và cấu trúc đề thi thực tế, giúp học sinh chinh phục mọi dạng bài trọng điểm, nâng cao tư duy và tối ưu kỹ năng giải đề. Với phương pháp học tập trực quan, logic và có tính ứng dụng cao, học sinh không chỉ tự tin đạt điểm số ấn tượng mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho hành trình vào đại học. Đây chính là hành trang không thể thiếu dành cho bất kỳ sĩ tử nào đang hướng đến thành tích xuất sắc trong kỳ thi quyết định này.

Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1: Tổng quan

Bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số bậc ba. Cụ thể, bài toán thường yêu cầu tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:

Tính đạo hàm cấp nhất (y'): Đây là bước quan trọng để xác định các điểm cực trị và khoảng đơn điệu của hàm số.
Tìm tập xác định của hàm số: Xác định miền xác định của hàm số là bước đầu tiên để đảm bảo tính hợp lệ của các phép toán đạo hàm.
Giải phương trình y' = 0: Nghiệm của phương trình này chính là hoành độ của các điểm cực trị.
Xác định dấu của y': Dựa vào dấu của y' trên các khoảng xác định, ta có thể xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tìm đạo hàm cấp hai (y''): Đạo hàm cấp hai giúp xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số và tìm điểm uốn.
Giải phương trình y'' = 0: Nghiệm của phương trình này là hoành độ của các điểm uốn.
Xác định dấu của y'': Dựa vào dấu của y'' trên các khoảng xác định, ta có thể xác định khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số.
Lập bảng biến thiên: Bảng biến thiên là công cụ tóm tắt các thông tin quan trọng về hàm số, giúp ta dễ dàng vẽ đồ thị.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt (cực trị, điểm uốn), ta có thể vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.

Ví dụ minh họa giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1

Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x³ - 3x² + 2

Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất

y' = 3x² - 6x

Bước 2: Giải phương trình y' = 0

3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Xác định dấu của y'

Xét các khoảng:

x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)

Bước 4: Tìm đạo hàm cấp hai

y'' = 6x - 6

Bước 5: Giải phương trình y'' = 0

6x - 6 = 0 ⇔ x = 1

Bước 6: Xác định dấu của y''

Xét các khoảng:

x < 1: y'' < 0 (hàm số lõm)
x > 1: y'' > 0 (hàm số lồi)

Bước 7: Lập bảng biến thiên

x	-∞	0	1	2	+∞
y'	+	0	-	0	+
y	↗	max	↘	min	↗
y''	-	-	0	+	+

Bước 8: Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2. Đồ thị hàm số có điểm cực đại tại (0, 2) và điểm cực tiểu tại (2, -2). Điểm uốn của đồ thị là (1, 0).

Lưu ý khi giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1

Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số trước khi thực hiện các phép toán đạo hàm.
Sử dụng bảng biến thiên để tóm tắt các thông tin quan trọng về hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số một cách cẩn thận, chú ý đến các điểm đặc biệt (cực trị, điểm uốn).
Thực hành nhiều bài tập tương tự để nắm vững phương pháp giải.

Kết luận

Bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Bằng cách nắm vững các bước giải và thực hành thường xuyên, các em sẽ tự tin giải quyết các bài toán tương tự trong kỳ thi THPT Quốc gia.