Giải Bài Tập 3.7 Trang 102 Sgk Toán 12 Tập 1

Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 tại toan9.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Nhà máy đường kiểm tra khối lượng các gói đường do một máy đóng gói tự động thực hiện. Kết quả kiểm tra được biểu diễn trong bảng dưới đây:

Đề bài

Nhà máy đường kiểm tra khối lượng các gói đường do một máy đóng gói tự động thực hiện. Kết quả kiểm tra được biểu diễn trong bảng dưới đây:

Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

a) Tính trung bình và độ lệch chuẩn của khối lượng các gói đường.

b) Có thể nói là máy vận hành tốt hay không nếu như tiêu chuẩn mong muốn của nhà máy là khối lượng trung bình nằm trong khoảng 500 – 504 gam và độ lệch chuẩn nhỏ hơn 3 gam?

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 2

- Công thức tính trung bình:

\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{f_i}} \right)} }}{N}\)

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

\(S = \sqrt {\overline {{x^2}} - {{\left( {\overline x } \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}x_i^2} }}{N} - {{\left( {\overline x } \right)}^2}} \)

Lời giải chi tiết

a) Tính trung điểm của từng lớp khối lượng.

Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 3

Tính trung binh \(\overline x \).

\(\bar x = \frac{{2 \cdot 495 + 6 \cdot 497 + 8 \cdot 499 + 32 \cdot 501 + 28 \cdot 503 + 15 \cdot 505 + 7 \cdot 507 + 2 \cdot 509}}{{2 + 6 + 8 + 32 + 28 + 15 + 7 + 2}}\)

\(\bar x = \frac{{990 + 2982 + 3992 + 16032 + 14084 + 7575 + 3549 + 1018}}{{100}} = \frac{{50222}}{{100}} = 502,22\;{\rm{g}}\)

Tính \(\sum {{f_i}x_i^2} \)

\(\sum {{f_i}} x_i^2 = 2 \cdot {(495)^2} + 6 \cdot {(497)^2} + 8 \cdot {(499)^2} + 32 \cdot {(501)^2} + 28 \cdot {(503)^2} + 15 \cdot {(505)^2} + 7 \cdot {(507)^2} + 2 \cdot {(509)^2}\)

\(\sum {{f_i}} x_i^2 = 2 \cdot 245025 + 6 \cdot 247009 + 8 \cdot 249001 + 32 \cdot 251001 + 28 \cdot 253009 + 15 \cdot 255025 + 7 \cdot 257049 + 2 \cdot 259081\)

\(\sum {{f_i}} x_i^2 = 490050 + 1482054 + 1992008 + 8032032 + 7084252 + 3825375 + 1799343 + 518162 = 25223276\)

Độ lệch chuẩn của khối lượng các gói đường là:

\(S = \sqrt {\frac{{25223276}}{{100}} - {{\left( {502,22} \right)}^2}} \approx 2,798g\)

b) Khối lượng trung bình \(\overline x = 502,22\) nằm trong khoảng yêu cầu [500,504]. Độ lệch tiêu chuẩn \(S \approx 2,798\)g cũng bé hơn mức yêu cầu 3g nên có thể kết luận máy hoạt động đúng tiêu chuẩn mong muốn.

Bứt phá ngoạn mục tại Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán với chiến lược ôn luyện hiệu quả và toàn diện! Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá – nội dung trọng tâm thuộc chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng soạn toán. Bộ tài liệu toán trung học phổ thông được biên soạn kỹ lưỡng, bám sát chương trình Toán lớp 12 và cấu trúc đề thi thực tế, giúp học sinh chinh phục mọi dạng bài trọng điểm, nâng cao tư duy và tối ưu kỹ năng giải đề. Với phương pháp học tập trực quan, logic và có tính ứng dụng cao, học sinh không chỉ tự tin đạt điểm số ấn tượng mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho hành trình vào đại học. Đây chính là hành trang không thể thiếu dành cho bất kỳ sĩ tử nào đang hướng đến thành tích xuất sắc trong kỳ thi quyết định này.

Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1: Tổng quan và Phương pháp tiếp cận

Bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 thường xoay quanh việc sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, bao gồm tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm trong việc phân tích hàm số.

Các bước giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1

Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm cấp nhất: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm f'(x) của hàm số.
Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Xét dấu đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định để xác định khoảng mà hàm số đồng biến (f'(x) > 0) và khoảng mà hàm số nghịch biến (f'(x) < 0).
Tìm cực trị: Sử dụng đạo hàm cấp hai f''(x) để xác định loại cực trị tại các điểm tới hạn. Nếu f''(x) > 0 thì điểm đó là cực tiểu, nếu f''(x) < 0 thì điểm đó là cực đại.
Tìm giới hạn tại vô cùng: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và trừ vô cùng để xác định tiệm cận ngang.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa trên các thông tin đã thu thập được, vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1

Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x³ - 3x² + 2.

Tập xác định: R
Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
Điểm tới hạn: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Khoảng đồng biến, nghịch biến:
- x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
- 0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
- x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)
Cực trị:
- x = 0: y'' = 6x - 6 = -6 < 0 (cực đại) => y(0) = 2
- x = 2: y'' = 6x - 6 = 6 > 0 (cực tiểu) => y(2) = -2
Giới hạn tại vô cùng: lim_x→∞ y = ∞, lim_x→-∞ y = -∞

Lưu ý khi giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1

Luôn kiểm tra lại các bước tính toán đạo hàm để tránh sai sót.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
Hiểu rõ ý nghĩa của các khái niệm như khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và tiệm cận.
Luyện tập thường xuyên để nắm vững kỹ năng giải bài tập.

Ứng dụng của việc giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1

Việc giải bài tập về khảo sát hàm số bằng đạo hàm có nhiều ứng dụng thực tế, bao gồm:

Tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng nhất định.
Mô hình hóa: Xây dựng các mô hình toán học để mô tả các hiện tượng thực tế.
Phân tích dữ liệu: Sử dụng đạo hàm để phân tích xu hướng và dự đoán các giá trị trong tương lai.

Tổng kết

Bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững các bước giải và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và áp dụng kiến thức vào thực tế.