Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 1 trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, toan9.edu.vn luôn cố gắng tạo ra những nội dung chất lượng, hỗ trợ các em học tập một cách hiệu quả nhất.
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ (vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})) và (vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})). a) Hãy biểu diễn các vectơ (vec a), (vec b) theo ba vectơ đơn vị (vec i), (vec j), (vec k). b) Tính (vec a + vec b) theo (vec i), (vec j), (vec k), từ đó tìm tọa độ của vectơ (vec a + vec b).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})\).
a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\vec a\), \(\vec b\) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\).
b) Tính \(\vec a + \vec b\) theo \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\), từ đó tìm tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\).
Phương pháp giải:
- Mỗi vectơ trong không gian Oxyz với tọa độ (x,y,z) có thể được biểu diễn dưới dạng: \(\vec v = x\vec i + y\vec j + z\vec k\)
- Cộng các thành phần tương ứng của hai vectơ để tìm tổng: \(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\vec a\) có tọa độ \(({x_1},{y_1},{z_1})\) nên nó có thể được biểu diễn theo các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) như sau:
\(\vec a = {x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k\)
Tương tự, vectơ \(\vec b\) có tọa độ \(({x_2},{y_2},{z_2})\) nên:
\(\vec b = {x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k\)
b) Tổng của hai vectơ \(\vec a + \vec b\) là:
\(\vec a + \vec b = ({x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k) + ({x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k)\)
Kết hợp các thành phần tương ứng:
\(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\) là \(({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2})\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5; -3; 0), B(2; 1; -1), C(4; 1; 2).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \).
b) Tìm điểm N sao cho \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \)
Phương pháp giải:
a) Tính toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \) sau đó thay vào biểu thức để xác định toạ độ của \(\overrightarrow u \).
b)
- Gọi toạ độ của N là (x,y,z).
- Biểu diễn \(\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {NB} \) theo x, y, z.
- Sử dụng điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) để thiết lập hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình để tìm toạ độ N.
Lời giải chi tiết:
a) Trước hết, chúng ta tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \), và \(\overrightarrow {BC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 5;1 + 3; - 1 - 0) = ( - 3;4; - 1)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (4 - 5;1 + 3;2 - 0) = ( - 1;4;2)\)
\(\overrightarrow {BC} = \vec C - \vec B = (4 - 2;1 - 1;2 + 1) = (2;0;3)\)
Bây giờ tính vectơ \(\vec u\):
\(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \)
Thay các vectơ đã tính:
\(\vec u = 2( - 3;4; - 1) + ( - 1;4;2) - 5(2;0;3)\)
\(\vec u = ( - 6;8; - 2) + ( - 1;4;2) - (10;0;15)\)
\(\vec u = ( - 6 - 1 - 10;8 + 4 - 0; - 2 + 2 - 15)\)
\(\vec u = ( - 17;12; - 15)\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec u\) là \(( - 17;12; - 15)\).
b) Điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) có thể được viết lại như sau:
\(2\left( {\overrightarrow A - \overrightarrow N } \right) = \left( {\overrightarrow B - \overrightarrow N } \right)\)
Giải phương trình này:
\(2\overrightarrow A - 2\overrightarrow N = - \overrightarrow B + \overrightarrow N \)
Chuyển vế: \(3\vec N = 2\vec A + \vec B\)
Từ đó: \(\vec N = \frac{{2\vec A + \vec B}}{3}\)
Tính tọa độ của điểm N: \(\vec N = \frac{{2(5; - 3;0) + (2;1; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \frac{{(10; - 6;0) + (2;1; - 1)}}{3} = \frac{{(12; - 5; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)
Vậy tọa độ của điểm N là \(\left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; -1), B(2; -1; 5), C(3; 0; 2). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 4; - 1 - 1;5 + 1) = ( - 2; - 2;6)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (3 - 4;0 - 1;2 + 1) = ( - 1; - 1;3)\)
Xét tỉ lệ:
\(\frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{6}{3} = 2\)
Vì \(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AC} }} = 2\), hai vectơ này cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\)
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A B. Tìm tọa độ điểm M.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm G.
Phương pháp giải:
- Công thức trung điểm: Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng nối hai điểm \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\) được tính theo công thức:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
- Công thức trọng tâm: Tọa độ trọng tâm G của tam giác có các đỉnh \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\) được tính theo công thức:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ điểm M là: \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
b) Tọa độ điểm G là: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;3; - 5)\), \(M\left( {\frac{3}{2};2; - \frac{1}{2}} \right)\), \(G\left( {2;\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
a) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
- Tọa độ điểm B: Sử dụng công thức trung điểm:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\).
Thay tọa độ A và M để tìm B.
- Tọa độ điểm C: Sử dụng công thức trọng tâm:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\).
Thay tọa độ A, B, và G để tìm C.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có tọa độ điểm M là trung điểm của AB nên:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
Từ đó, tọa độ điểm B được xác định bằng cách giải phương trình:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\)
Thay toạ độ của điểm A, M vào:
\({x_B} = 2 \times \frac{3}{2} - 1 = 2,\quad {y_B} = 2 \times 2 - 3 = 1,\quad {z_B} = 2 \times \left( { - \frac{1}{2}} \right) - ( - 5) = 4\)
Vậy tọa độ điểm B là B(2; 1; 4).
b)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Từ đó, ta có hệ phương trình:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\)
Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:
\({x_C} = 3 \times 2 - (1 + 2) = 3, \quad {y_C} = 3 \times \frac{2}{3} - (3 + 1) = 0,\quad {z_C} = 3 \times \left( { - \frac{2}{3}} \right) - ( - 5 + 4) = - 3\)
Vậy tọa độ điểm C là C (3; 0; -3).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 2.41, gốc tọa độ O là nơi máy bay xuất phát, trục Ox theo hướng Nam, trục Oy theo hướng Đông, trục Oz theo hướng thẳng đứng. Đơn vị trên các trục là km. Vào thời điểm 9h30 sáng, máy bay ở độ cao 9 km, cách điểm xuất phát theo hướng Nam 150 km và theo hướng Đông 300 km. Phi công để chế độ bay tự động, với vận tốc theo hướng Đông 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng Bắc với vận tốc 10 m/s. Tìm tọa độ của máy bay lúc 10h30, với giả định là trong khoảng thời gian 9h30 đến 10h30, vận tốc và hướng của gió không thay đổi.
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ của máy bay tại thời điểm ban đầu.
- Tính vận tốc của máy bay theo các trục Ox, Oy (bao gồm cả ảnh hưởng của gió) và xác định vận tốc theo trục Oz.
- Sử dụng công thức \(x = {x_0} + {v_x} \times t\), \(y = {y_0} + {v_y} \times t\), \(z = {z_0} + {v_z} \times t\) để tính tọa độ máy bay sau thời gian \(t\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ máy bay lúc 9h30 là: A = (150; 300; 9).
Vận tốc gió là 10 m/s = 36 km/h.
Hướng di chuyển của máy bay trong 1 giờ là: \(\overrightarrow v = ( - 36;750;0)\).
Tọa độ của máy bay lúc 10h30 là: B = (150 – 36; 300 + 750; 9 + 0) = (114; 1050; 9).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})\).
a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\vec a\), \(\vec b\) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\).
b) Tính \(\vec a + \vec b\) theo \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\), từ đó tìm tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\).
Phương pháp giải:
- Mỗi vectơ trong không gian Oxyz với tọa độ (x,y,z) có thể được biểu diễn dưới dạng: \(\vec v = x\vec i + y\vec j + z\vec k\)
- Cộng các thành phần tương ứng của hai vectơ để tìm tổng: \(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\vec a\) có tọa độ \(({x_1},{y_1},{z_1})\) nên nó có thể được biểu diễn theo các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) như sau:
\(\vec a = {x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k\)
Tương tự, vectơ \(\vec b\) có tọa độ \(({x_2},{y_2},{z_2})\) nên:
\(\vec b = {x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k\)
b) Tổng của hai vectơ \(\vec a + \vec b\) là:
\(\vec a + \vec b = ({x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k) + ({x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k)\)
Kết hợp các thành phần tương ứng:
\(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\) là \(({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2})\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5; -3; 0), B(2; 1; -1), C(4; 1; 2).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \).
b) Tìm điểm N sao cho \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \)
Phương pháp giải:
a) Tính toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \) sau đó thay vào biểu thức để xác định toạ độ của \(\overrightarrow u \).
b)
- Gọi toạ độ của N là (x,y,z).
- Biểu diễn \(\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {NB} \) theo x, y, z.
- Sử dụng điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) để thiết lập hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình để tìm toạ độ N.
Lời giải chi tiết:
a) Trước hết, chúng ta tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \), và \(\overrightarrow {BC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 5;1 + 3; - 1 - 0) = ( - 3;4; - 1)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (4 - 5;1 + 3;2 - 0) = ( - 1;4;2)\)
\(\overrightarrow {BC} = \vec C - \vec B = (4 - 2;1 - 1;2 + 1) = (2;0;3)\)
Bây giờ tính vectơ \(\vec u\):
\(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \)
Thay các vectơ đã tính:
\(\vec u = 2( - 3;4; - 1) + ( - 1;4;2) - 5(2;0;3)\)
\(\vec u = ( - 6;8; - 2) + ( - 1;4;2) - (10;0;15)\)
\(\vec u = ( - 6 - 1 - 10;8 + 4 - 0; - 2 + 2 - 15)\)
\(\vec u = ( - 17;12; - 15)\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec u\) là \(( - 17;12; - 15)\).
b) Điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) có thể được viết lại như sau:
\(2\left( {\overrightarrow A - \overrightarrow N } \right) = \left( {\overrightarrow B - \overrightarrow N } \right)\)
Giải phương trình này:
\(2\overrightarrow A - 2\overrightarrow N = - \overrightarrow B + \overrightarrow N \)
Chuyển vế: \(3\vec N = 2\vec A + \vec B\)
Từ đó: \(\vec N = \frac{{2\vec A + \vec B}}{3}\)
Tính tọa độ của điểm N: \(\vec N = \frac{{2(5; - 3;0) + (2;1; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \frac{{(10; - 6;0) + (2;1; - 1)}}{3} = \frac{{(12; - 5; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)
Vậy tọa độ của điểm N là \(\left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; -1), B(2; -1; 5), C(3; 0; 2). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 4; - 1 - 1;5 + 1) = ( - 2; - 2;6)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (3 - 4;0 - 1;2 + 1) = ( - 1; - 1;3)\)
Xét tỉ lệ:
\(\frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{6}{3} = 2\)
Vì \(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AC} }} = 2\), hai vectơ này cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 2.41, gốc tọa độ O là nơi máy bay xuất phát, trục Ox theo hướng Nam, trục Oy theo hướng Đông, trục Oz theo hướng thẳng đứng. Đơn vị trên các trục là km. Vào thời điểm 9h30 sáng, máy bay ở độ cao 9 km, cách điểm xuất phát theo hướng Nam 150 km và theo hướng Đông 300 km. Phi công để chế độ bay tự động, với vận tốc theo hướng Đông 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng Bắc với vận tốc 10 m/s. Tìm tọa độ của máy bay lúc 10h30, với giả định là trong khoảng thời gian 9h30 đến 10h30, vận tốc và hướng của gió không thay đổi.
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ của máy bay tại thời điểm ban đầu.
- Tính vận tốc của máy bay theo các trục Ox, Oy (bao gồm cả ảnh hưởng của gió) và xác định vận tốc theo trục Oz.
- Sử dụng công thức \(x = {x_0} + {v_x} \times t\), \(y = {y_0} + {v_y} \times t\), \(z = {z_0} + {v_z} \times t\) để tính tọa độ máy bay sau thời gian \(t\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ máy bay lúc 9h30 là: A = (150; 300; 9).
Vận tốc gió là 10 m/s = 36 km/h.
Hướng di chuyển của máy bay trong 1 giờ là: \(\overrightarrow v = ( - 36;750;0)\).
Tọa độ của máy bay lúc 10h30 là: B = (150 – 36; 300 + 750; 9 + 0) = (114; 1050; 9).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\)
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A B. Tìm tọa độ điểm M.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm G.
Phương pháp giải:
- Công thức trung điểm: Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng nối hai điểm \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\) được tính theo công thức:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
- Công thức trọng tâm: Tọa độ trọng tâm G của tam giác có các đỉnh \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\) được tính theo công thức:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ điểm M là: \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
b) Tọa độ điểm G là: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;3; - 5)\), \(M\left( {\frac{3}{2};2; - \frac{1}{2}} \right)\), \(G\left( {2;\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
a) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
- Tọa độ điểm B: Sử dụng công thức trung điểm:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\).
Thay tọa độ A và M để tìm B.
- Tọa độ điểm C: Sử dụng công thức trọng tâm:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\).
Thay tọa độ A, B, và G để tìm C.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có tọa độ điểm M là trung điểm của AB nên:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
Từ đó, tọa độ điểm B được xác định bằng cách giải phương trình:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\)
Thay toạ độ của điểm A, M vào:
\({x_B} = 2 \times \frac{3}{2} - 1 = 2,\quad {y_B} = 2 \times 2 - 3 = 1,\quad {z_B} = 2 \times \left( { - \frac{1}{2}} \right) - ( - 5) = 4\)
Vậy tọa độ điểm B là B(2; 1; 4).
b)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Từ đó, ta có hệ phương trình:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\)
Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:
\({x_C} = 3 \times 2 - (1 + 2) = 3, \quad {y_C} = 3 \times \frac{2}{3} - (3 + 1) = 0,\quad {z_C} = 3 \times \left( { - \frac{2}{3}} \right) - ( - 5 + 4) = - 3\)
Vậy tọa độ điểm C là C (3; 0; -3).
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào các kiến thức nền tảng, giới thiệu các khái niệm mới và các định lý quan trọng. Việc nắm vững kiến thức trong mục này là vô cùng quan trọng, vì nó là cơ sở cho việc giải quyết các bài tập phức tạp hơn trong các chương sau.
Để giúp các em hiểu rõ hơn về nội dung của mục 1, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng phần cụ thể:
Trang 74 giới thiệu khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm. Đạo hàm được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0. Công thức tính đạo hàm được trình bày rõ ràng, kèm theo các ví dụ minh họa.
Trang 75 trình bày các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, bao gồm:
Các quy tắc này giúp chúng ta tính đạo hàm của các hàm số phức tạp một cách dễ dàng hơn.
Trang 76 cung cấp đạo hàm của một số hàm số thường gặp, như:
Việc nắm vững đạo hàm của các hàm số này là rất quan trọng để giải quyết các bài tập liên quan.
Sau khi học lý thuyết, các em cần thực hành giải các bài tập để củng cố kiến thức. Dưới đây là một số bài tập vận dụng:
Các em có thể tự giải các bài tập này hoặc tham khảo lời giải chi tiết trên toan9.edu.vn.
Để học tập môn Toán hiệu quả, các em nên:
Hy vọng rằng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| f(x) = xn | f'(x) = nxn-1 |
| f(x) = sin(x) | f'(x) = cos(x) |
| f(x) = cos(x) | f'(x) = -sin(x) |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
