Giải bài tập 3.11 trang 104 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một trang trại phân 1000 quả trứng thành 5 loại, tuỳ theo khối lượng (đã được làm tròn) của chúng (Bảng 3.26).

a) Ước tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của khối lượng những quả trứng này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Hãy phân tích sự đồng đều về khối lượng các quả trứng của trang trại.

Lời giải chi tiết

Khoảng biến thiên là chênh lệch giữa giá trị khối lượng lớn nhất và nhỏ nhất:

R = Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất = 60 – 30 = 30

Tính tứ phân vị

- \(\frac{N}{4} = 250\) rơi vào nhóm [42; 48)

\({Q_1} = 42 + \left( {\frac{{250 - 235}}{{500}}} \right) \times 6\)

\({Q_1} = 42 + \left( {\frac{{15}}{{500}}} \right) \times 6 = 42 + 0,18 = 42,18{\mkern 1mu} {\rm{g}}\)

- \(\frac{{3N}}{4} = 750\) rơi vào nhóm [48; 54)

\({Q_3} = 48 + \left( {\frac{{750 - 735}}{{250}}} \right) \times 6\)

\({Q_3} = 48 + \left( {\frac{{15}}{{250}}} \right) \times 6 = 48 + 0,36 = 48,36{\mkern 1mu} {\rm{g}}\)

Khoảng tứ phân vị:

\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 48,36 - 42,18 = 6,18{\mkern 1mu} {\rm{g}}\)

 Giá trị trung bình:

\(\overline x = \frac{{(33 \times 45) + (39 \times 190) + (45 \times 500) + (51 \times 250) + (57 \times 15)}}{{1000}}\)

\(\overline x = \frac{{1485 + 7410 + 22500 + 12750 + 855}}{{1000}} = \frac{{45000}}{{1000}} = 45{\mkern 1mu} {\rm{g}}\)

Phương sai:

\({S^2} = \frac{{45 \times {{(33 - 45)}^2} + 190 \times {{(39 - 45)}^2} + 500 \times {{(45 - 45)}^2} + 250 \times {{(51 - 45)}^2} + 15 \times {{(57 - 45)}^2}}}{{1000}}\)

\({S^2} = \frac{{45 \times 144 + 190 \times 36 + 500 \times 0 + 250 \times 36 + 15 \times 144}}{{1000}}\)

\({S^2} = \frac{{6480 + 6840 + 0 + 9000 + 2160}}{{1000}} = \frac{{24,480}}{{1000}} = 24,48{\mkern 1mu} {{\rm{g}}^2}\)

Độ lệch chuẩn của khối lượng những quả trứng này:

\(S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {24,48} \approx 4,95g\)

b)

Khoảng biến thiên: 30g cho thấy sự khác biệt lớn giữa quả trứng nhẹ nhất và nặng nhất, nhưng điều này không phản ánh toàn bộ sự đồng đều của dữ liệu.

Khoảng tứ phân vị: 6.18g, cho thấy rằng 50% quả trứng giữa có khối lượng rất gần nhau, trong khoảng từ 42.18g đến 48.36g. Điều này cho thấy sự phân tán không quá lớn trong số lượng lớn các quả trứng.

Phương sai và độ lệch chuẩn: Với phương sai là 24,48g và độ lệch chuẩn là 4,95g, có thể thấy rằng có một số sự phân tán trong khối lượng trứng, nhưng không quá lớn, cho thấy khối lượng các quả trứng trong trang trại là khá đồng đều.