Bài 4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Bài 4 trong chương 2 của SGK Toán 12 tập 1 tập trung vào việc thiết lập và sử dụng các công thức biểu diễn tọa độ của các phép toán trên vectơ trong không gian. Việc nắm vững các công thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách chính xác và hiệu quả.

1. Khái niệm cơ bản về vectơ trong không gian

Trước khi đi vào các phép toán, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản. Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng của nó. Trong hệ tọa độ Oxyz, một vectơ a được biểu diễn bằng tọa độ a = (x; y; z), trong đó x, y, z là các số thực.

2. Phép cộng và phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂).

• Phép cộng:a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)

• Phép trừ:a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

Phép cộng và phép trừ vectơ tuân theo các tính chất giao hoán và kết hợp.

3. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k.

Phép nhân: ka = (kx; ky; kz)

Phép nhân vectơ với một số thực có các tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ vectơ.

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂).

Tích vô hướng:a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Tích vô hướng của hai vectơ có liên quan đến góc giữa chúng thông qua công thức: a ⋅ b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và 2a.

a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)

2a = (2 * 1; 2 * 2; 2 * 3) = (2; 4; 6)

Ví dụ 2: Cho a = (1; 0; -1) và b = (2; -1; 1). Tính a ⋅ b.

a ⋅ b = (1 * 2) + (0 * -1) + (-1 * 1) = 2 + 0 - 1 = 1

6. Bài tập áp dụng

1. Cho a = (3; -1; 2) và b = (1; 2; -3). Tính a - b và -3b.
2. Cho a = (2; 1; 0) và b = (-1; 3; 2). Tính a ⋅ b.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi sắp tới. Chúc các em học tốt!