Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 tại toan9.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C'. O là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B. a) Chứng minh rằng các đường thẳng GO và CG' song song với nhau. b) Tính độ dài của \(\overrightarrow {GO} \)trong trường hợp ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, cạnh bên AA' = 3 và đáy là tam giác đều có cạnh bằng 2.
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C'. O là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng GO và CG' song song với nhau.
b) Tính độ dài của \(\overrightarrow {GO} \)trong trường hợp ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, cạnh bên AA' = 3 và đáy là tam giác đều có cạnh bằng 2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm k (k≠0) sao cho \(\overrightarrow {GO} = k\overrightarrow {CG'} \) thì hai đường thẳng GO // CG’ bằng quy tắc trọng tâm tam giác và quy tắc trung điểm của vectơ.
- Tính độ dài của \(\overrightarrow {CG'} \) rồi suy ra độ dài của \(\overrightarrow {GO} \).
Lời giải chi tiết
Hình bình hành AA’B’B có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AB’. Do đó: \(2\overrightarrow {GO} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \).
Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ có G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy nên: \(\overrightarrow {G'B'} = \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow {GC} \).
Suy ra: \(2\overrightarrow {GO} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {CG'} + \overrightarrow {G'C'} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {CG'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} \).
Áp dụng quy tắc trọng tâm của vectơ vào tam giác ABC, ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Suy ra: \(2\overrightarrow {GO} = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {CG'} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {CG'} = \overrightarrow {CG'} \).
Vì tồn tại \(k = \frac{1}{2} \ne 0\) nên GO và CG’ song song với nhau.
b)
Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ là lăng trụ đứng nên tam giác CC’G’ vuông tại C’, ta có: \(CG' = \sqrt {CC{'^2} + C'G{'^2}} \).
Mà G’ là trọng tâm của tam giác đều A’B’C’ nên: \(C'G' = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.2 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Suy ra: \(CG' = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {93} }}{3}\).
Từ câu a ta thấy \(\overrightarrow {GO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CG'} \) nên \(\left| {\overrightarrow {GO} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CG'} } \right| = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {93} }}{3} = \frac{{\sqrt {93} }}{6}\).
Bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 thường xoay quanh việc tìm đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số, và tìm cực trị. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng giải một ví dụ cụ thể từ bài tập 2.5. Giả sử bài tập yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1.
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của đa thức, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Để xét dấu f'(x), ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm x1 và x2.
Sau đó, ta xét dấu f'(x) trên các khoảng ( -∞, x1 ), ( x1, x2 ), và ( x2, +∞ ) để xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
Dựa vào bảng xét dấu f'(x), ta xác định các điểm cực trị của hàm số. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = a, thì hàm số đạt cực đại tại x = a. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x = a, thì hàm số đạt cực tiểu tại x = a.
Ngoài việc tính đạo hàm, bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 còn bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 một cách hiệu quả, học sinh nên:
Bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững lý thuyết, luyện tập thường xuyên, và sử dụng các công cụ hỗ trợ, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong kỳ thi.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
