Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 tại toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của toan9.edu.vn đã biên soạn bài giải này một cách cẩn thận, kèm theo các ví dụ minh họa và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\). a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này? b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M? c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với các điểm \(A'(3;2; - 5)\), \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), và \(C(0;2;1)\).
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng \(\alpha \): \(9x + 13y + 7z = 0\)
b) Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C').
Phương pháp giải:
a)
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
- Sử dụng tính chất: Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vector pháp tuyến của chúng cùng phương, nghĩa là tỉ số các hệ số của hai phương trình mặt phẳng phải tương ứng với nhau.
b)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC vì hai mặt phẳng này song song.
- Sau đó viết phương trình mặt phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến này và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng, ví dụ A′.
Lời giải chi tiết:
a)
Tọa độ các điểm \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), \(C(0;2;1)\).
Vector \(\overrightarrow {AB} = B - A = (2 - 3, - 1 - 1,4 - ( - 1)) = ( - 1, - 2,5)\).
Vector \(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 3,2 - 1,1 - ( - 1)) = ( - 3,1,2)\).
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 1}&{ - 2}&5\\{ - 3}&1&2\end{array}} \right| = {\bf{i}} \cdot (( - 2) \cdot 2 - 5 \cdot 1) - {\bf{j}} \cdot (( - 1) \cdot 2 - 5 \cdot ( - 3)) + {\bf{k}} \cdot (( - 1) \cdot 1 - ( - 2) \cdot ( - 3))\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4 - 5) - {\bf{j}} \cdot ( - 2 + 15) + {\bf{k}} \cdot ( - 1 - 6) = {\bf{i}} \cdot ( - 9) - {\bf{j}} \cdot (13) + {\bf{k}} \cdot ( - 7) = ( - 9, - 13, - 7).\)
Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng \(\alpha \) cho trước là: \(9x + 13y + 7z = 0\).
Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (9,13,7)\).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\) là cùng phương với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), do đó hai mặt phẳng (ABC) và \(\alpha \) song song với nhau.
b)
Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên mặt phẳng ABC và mặt phẳng A′B′C′ song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′.
Suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ là \(\overrightarrow {{n_{A'B'C'}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng (A'B'C') là:
\( - 9(x - 3) - 13(y - 2) - 7(z + 5) = 0\)
hay rút gọn lại là:
\( - 9x - 13y - 7z + 18 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 47 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này?
b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M?
c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) thì \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
b) Thay \(M\) vào từng phương trình của mặt phẳng để kiểm tra.
c) Nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì hai mặt phẳng đó cũng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
a)
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} = \left( {2; - 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} = \left( {4; - 6;2} \right)\)
Có thể thấy hai vectơ này cùng phương với nhau vì:
\(\frac{4}{2} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = \frac{2}{1} = 2\)
b)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _1})\):
\(2.( - 2) - 3.0 + 1 + 3 = 0\)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _2})\):
\(4.( - 2) - 6.0 + 2.1 + 5 = - 1 \ne 0\)
Vậy M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\).
c)
Từ câu a có thể thấy hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} ,\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} \) song song với nhau nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có thể song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\) nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có \(S(2; - 1;7)\), \(A(2; - 1;3)\), \(B(5;2;3)\), \(C(8; - 1;3)\). Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Phương pháp giải:
Để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), ta cần kiểm tra xem tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này có bằng 0 hay không. - Tương tự, để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\), ta cũng kiểm tra điều kiện tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
Lời giải chi tiết:
* Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng
a) Mặt phẳng \((ABC)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (5 - 2;2 + 1;3 - 3) = (3;3;0),\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 3) = (6;0;0).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&0\\6&0&0\end{array}} \right| = (0;0; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = (0;0; - 18)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SAB)\):
\(\overrightarrow {SA} = A - S = (2 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (0;0; - 4),\)
\(\overrightarrow {SB} = B - S = (5 - 2;2 + 1;3 - 7) = (3;3; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = \overrightarrow {SA} \times \overrightarrow {SB} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\0&0&{ - 4}\\3&3&{ - 4}\end{array}} \right| = (12; - 12;0).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = (12; - 12;0)\).
c) Mặt phẳng \((SBC)\):
- Tương tự, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SBC)\):
\(\overrightarrow {SB} = (3;3; - 4)\quad {\rm{v\`a }}\quad \overrightarrow {SC} = C - S = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (6;0; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {SC} \):
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = \overrightarrow {SB} \times \overrightarrow {SC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&{ - 4}\\6&0&{ - 4}\end{array}} \right| = ( - 12; - 12; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = ( - 12; - 12; - 18)\)
* Chứng minh các mặt phẳng vuông góc
a) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABC)\):
- Để kiểm tra \((SAB)\) vuông góc với \((ABC)\), ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{ABC}}} = (12; - 12;0) \cdot (0;0; - 18) = 12 \times 0 + ( - 12) \times 0 + 0 \times ( - 18) = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (ABC)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\):
- Tương tự, ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{SBC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{SBC}}} = (12; - 12;0) \cdot ( - 12; - 12; - 18) = 12 \times ( - 12) + ( - 12) \times ( - 12) + 0 \times ( - 18) = - 144 + 144 + 0 = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (SBC)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(A( - 3;2; - 1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((P):2x - y + 3z - 1 = 0\), \((Q):x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Phương pháp giải:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
- Từ đó, ta tìm vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của \((P)\) và \((Q)\).
- Sau khi có vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\), sử dụng điểm \(A( - 3;2; - 1)\) để lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\overrightarrow {{n_P}} = (2; - 1;3).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = (1;2; - 2).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \), do đó ta tìm tích có hướng của hai vectơ này:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} \times \overrightarrow {{n_Q}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&{ - 1}&3\\1&2&{ - 2}\end{array}} \right| = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\2&{ - 2}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|\)
Tính các định thức con:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = {\bf{i}} \cdot (( - 1)( - 2) - (3)(2)) - {\bf{j}} \cdot ((2)( - 2) - (3)(1)) + {\bf{k}} \cdot ((2)(2) - ( - 1)(1))\)
\( = {\bf{i}} \cdot (2 - 6) - {\bf{j}} \cdot ( - 4 - 3) + {\bf{k}} \cdot (4 + 1)\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4) - {\bf{j}} \cdot ( - 7) + {\bf{k}} \cdot (5)\)
\( = ( - 4;7;5).\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( - 4;7;5)\).
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
- Ta thế tọa độ điểm \(A( - 3;2; - 1)\) vào phương trình:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
Mở rộng phương trình:
\( - 4x - 12 + 7y - 14 + 5z + 5 = 0\)
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Vậy phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) (Hình 5.12).
a) Có nhận xét gì về góc giữa \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\)?
b) Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau thì \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vuông góc với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
b) Tương tự thì góc góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cũng là góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và.
Lời giải chi tiết:
a)
Khi hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) vuông góc, điều này có nghĩa rằng góc giữa hai mặt phẳng bằng \({90^\circ }\).
Do đó, vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau.
Điều này được biểu diễn bằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \):
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0.\)
Kết luận: Khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\), thì \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \).
b)
Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau, tức là \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\), thì hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau vì:
\(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right)//\overrightarrow {{n_2}} \)
Mà
\(\left( {{\alpha _2}} \right) \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 47 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này?
b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M?
c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) thì \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
b) Thay \(M\) vào từng phương trình của mặt phẳng để kiểm tra.
c) Nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì hai mặt phẳng đó cũng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
a)
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} = \left( {2; - 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} = \left( {4; - 6;2} \right)\)
Có thể thấy hai vectơ này cùng phương với nhau vì:
\(\frac{4}{2} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = \frac{2}{1} = 2\)
b)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _1})\):
\(2.( - 2) - 3.0 + 1 + 3 = 0\)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _2})\):
\(4.( - 2) - 6.0 + 2.1 + 5 = - 1 \ne 0\)
Vậy M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\).
c)
Từ câu a có thể thấy hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} ,\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} \) song song với nhau nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có thể song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\) nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với các điểm \(A'(3;2; - 5)\), \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), và \(C(0;2;1)\).
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng \(\alpha \): \(9x + 13y + 7z = 0\)
b) Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C').
Phương pháp giải:
a)
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
- Sử dụng tính chất: Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vector pháp tuyến của chúng cùng phương, nghĩa là tỉ số các hệ số của hai phương trình mặt phẳng phải tương ứng với nhau.
b)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC vì hai mặt phẳng này song song.
- Sau đó viết phương trình mặt phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến này và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng, ví dụ A′.
Lời giải chi tiết:
a)
Tọa độ các điểm \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), \(C(0;2;1)\).
Vector \(\overrightarrow {AB} = B - A = (2 - 3, - 1 - 1,4 - ( - 1)) = ( - 1, - 2,5)\).
Vector \(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 3,2 - 1,1 - ( - 1)) = ( - 3,1,2)\).
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 1}&{ - 2}&5\\{ - 3}&1&2\end{array}} \right| = {\bf{i}} \cdot (( - 2) \cdot 2 - 5 \cdot 1) - {\bf{j}} \cdot (( - 1) \cdot 2 - 5 \cdot ( - 3)) + {\bf{k}} \cdot (( - 1) \cdot 1 - ( - 2) \cdot ( - 3))\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4 - 5) - {\bf{j}} \cdot ( - 2 + 15) + {\bf{k}} \cdot ( - 1 - 6) = {\bf{i}} \cdot ( - 9) - {\bf{j}} \cdot (13) + {\bf{k}} \cdot ( - 7) = ( - 9, - 13, - 7).\)
Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng \(\alpha \) cho trước là: \(9x + 13y + 7z = 0\).
Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (9,13,7)\).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\) là cùng phương với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), do đó hai mặt phẳng (ABC) và \(\alpha \) song song với nhau.
b)
Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên mặt phẳng ABC và mặt phẳng A′B′C′ song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′.
Suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ là \(\overrightarrow {{n_{A'B'C'}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng (A'B'C') là:
\( - 9(x - 3) - 13(y - 2) - 7(z + 5) = 0\)
hay rút gọn lại là:
\( - 9x - 13y - 7z + 18 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) (Hình 5.12).
a) Có nhận xét gì về góc giữa \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\)?
b) Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau thì \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vuông góc với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
b) Tương tự thì góc góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cũng là góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và.
Lời giải chi tiết:
a)
Khi hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) vuông góc, điều này có nghĩa rằng góc giữa hai mặt phẳng bằng \({90^\circ }\).
Do đó, vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau.
Điều này được biểu diễn bằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \):
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0.\)
Kết luận: Khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\), thì \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \).
b)
Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau, tức là \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\), thì hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau vì:
\(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right)//\overrightarrow {{n_2}} \)
Mà
\(\left( {{\alpha _2}} \right) \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có \(S(2; - 1;7)\), \(A(2; - 1;3)\), \(B(5;2;3)\), \(C(8; - 1;3)\). Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Phương pháp giải:
Để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), ta cần kiểm tra xem tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này có bằng 0 hay không. - Tương tự, để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\), ta cũng kiểm tra điều kiện tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
Lời giải chi tiết:
* Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng
a) Mặt phẳng \((ABC)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (5 - 2;2 + 1;3 - 3) = (3;3;0),\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 3) = (6;0;0).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&0\\6&0&0\end{array}} \right| = (0;0; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = (0;0; - 18)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SAB)\):
\(\overrightarrow {SA} = A - S = (2 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (0;0; - 4),\)
\(\overrightarrow {SB} = B - S = (5 - 2;2 + 1;3 - 7) = (3;3; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = \overrightarrow {SA} \times \overrightarrow {SB} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\0&0&{ - 4}\\3&3&{ - 4}\end{array}} \right| = (12; - 12;0).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = (12; - 12;0)\).
c) Mặt phẳng \((SBC)\):
- Tương tự, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SBC)\):
\(\overrightarrow {SB} = (3;3; - 4)\quad {\rm{v\`a }}\quad \overrightarrow {SC} = C - S = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (6;0; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {SC} \):
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = \overrightarrow {SB} \times \overrightarrow {SC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&{ - 4}\\6&0&{ - 4}\end{array}} \right| = ( - 12; - 12; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = ( - 12; - 12; - 18)\)
* Chứng minh các mặt phẳng vuông góc
a) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABC)\):
- Để kiểm tra \((SAB)\) vuông góc với \((ABC)\), ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{ABC}}} = (12; - 12;0) \cdot (0;0; - 18) = 12 \times 0 + ( - 12) \times 0 + 0 \times ( - 18) = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (ABC)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\):
- Tương tự, ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{SBC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{SBC}}} = (12; - 12;0) \cdot ( - 12; - 12; - 18) = 12 \times ( - 12) + ( - 12) \times ( - 12) + 0 \times ( - 18) = - 144 + 144 + 0 = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (SBC)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(A( - 3;2; - 1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((P):2x - y + 3z - 1 = 0\), \((Q):x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Phương pháp giải:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
- Từ đó, ta tìm vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của \((P)\) và \((Q)\).
- Sau khi có vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\), sử dụng điểm \(A( - 3;2; - 1)\) để lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\overrightarrow {{n_P}} = (2; - 1;3).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = (1;2; - 2).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \), do đó ta tìm tích có hướng của hai vectơ này:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} \times \overrightarrow {{n_Q}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&{ - 1}&3\\1&2&{ - 2}\end{array}} \right| = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\2&{ - 2}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|\)
Tính các định thức con:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = {\bf{i}} \cdot (( - 1)( - 2) - (3)(2)) - {\bf{j}} \cdot ((2)( - 2) - (3)(1)) + {\bf{k}} \cdot ((2)(2) - ( - 1)(1))\)
\( = {\bf{i}} \cdot (2 - 6) - {\bf{j}} \cdot ( - 4 - 3) + {\bf{k}} \cdot (4 + 1)\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4) - {\bf{j}} \cdot ( - 7) + {\bf{k}} \cdot (5)\)
\( = ( - 4;7;5).\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( - 4;7;5)\).
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
- Ta thế tọa độ điểm \(A( - 3;2; - 1)\) vào phương trình:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
Mở rộng phương trình:
\( - 4x - 12 + 7y - 14 + 5z + 5 = 0\)
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Vậy phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số, hoặc các bài toán liên quan đến tối ưu hóa. Việc nắm vững kiến thức nền tảng về đạo hàm là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài tập trong mục này.
Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bài tập trong mục 3, trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2. Mỗi bài tập sẽ được phân tích kỹ lưỡng, kèm theo các bước giải cụ thể và lời giải thích chi tiết.
(Nội dung bài tập 1)
Lời giải:
(Giải chi tiết bài tập 1, bao gồm các bước biến đổi, áp dụng công thức và kết luận)
(Nội dung bài tập 2)
Lời giải:
(Giải chi tiết bài tập 2, bao gồm các bước biến đổi, áp dụng công thức và kết luận)
(Nội dung bài tập 3)
Lời giải:
(Giải chi tiết bài tập 3, bao gồm các bước biến đổi, áp dụng công thức và kết luận)
(Nội dung bài tập 4)
Lời giải:
(Giải chi tiết bài tập 4, bao gồm các bước biến đổi, áp dụng công thức và kết luận)
(Nội dung bài tập 5)
Lời giải:
(Giải chi tiết bài tập 5, bao gồm các bước biến đổi, áp dụng công thức và kết luận)
Sau khi đã nắm vững cách giải các bài tập trong SGK, các em nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Các em có thể tìm thấy các bài tập luyện tập trên các trang web học toán online, trong các sách bài tập hoặc từ các giáo viên.
Trong quá trình giải bài tập, các em cần chú ý:
Đạo hàm không chỉ là một công cụ toán học thuần túy mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... Ví dụ, đạo hàm có thể được sử dụng để tính vận tốc, gia tốc của một vật thể chuyển động, hoặc để tìm điểm tối ưu trong một bài toán kinh tế.
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 tại toan9.edu.vn đã giúp các em hiểu rõ hơn về các kiến thức và kỹ năng liên quan đến đạo hàm. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
