Giải bài 10 trang 36 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) \(A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}\) tại \(x = - 4\)

b) \(B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}}\) tại \(x = 99\)

c) \(C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}}\) tại \(x = 0,7\)

d) \(D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\) tại \(\frac{1}{{23}}\)

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}} \\= \frac{{{x^2} - 1 - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{x - 1}}= \frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 4}}{{x - 1}} = \frac{3}{{x - 1}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = - 4\) là: \(\frac{3}{{ - 4 - 1}} = \frac{{ - 3}}{5}\)

b) Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ne \pm 5\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}} = \frac{{ -1}}{{x - 5}} - \frac{x(x +5)}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{ -1}}{{x - 5}} - \frac{x}{x - 5}\\ = \frac{{ - 1 - x}}{{x - 5}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(B\) tại \(x = 99\) là: \(\frac{{ - 1 - 99}}{{99 - 5}} = \frac{{ - 50}}{{47}}\)

c) Ta có:

\({x^3} - {x^2} + x - 1 = \left( {{x^3} - {x^2}} \right) + \left( {x - 1} \right) \\= {x^2}\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là: \(x \ne 1\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1 - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(C\) tại \(x = 0,7\) là:

\(\frac{{0,7 - 1}}{{0,{7^2} + 1}} = \frac{{ - 30}}{{149}}\)

d) Ta sử dụng:

\(\frac{1}{a(a + 1)} = \frac{(a + 1) - a}{a(a + 1)} = \frac{a + 1}{a(a + 1)} - \frac{a}{a(a + 1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là: \(x \ne 0;x \ne - 1;x \ne - 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\\ = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}} \\ = {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} + {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{x}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = \frac{1}{{23}}\) là: \(\frac{1}{{\frac{1}{{23}}}} = 23\)