Giải bài 6.13 trang 47 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Giải bài 6.13 trang 47 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Bài 6.13 trang 47 SGK Toán 8 thuộc chương trình đại số lớp 8, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hình chữ nhật để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các tính chất của hình chữ nhật, đặc biệt là mối quan hệ giữa các cạnh và các góc.

Nội dung bài toán:

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Trên đường thẳng BC lấy điểm F sao cho BF = 2FC. Gọi G là giao điểm của BE và DF. Chứng minh rằng: a) G là trung điểm của DF; b) DG = GF.

Lời giải chi tiết:

1. Vẽ hình: Vẽ hình chữ nhật ABCD, xác định điểm E là trung điểm của AD và điểm F trên BC sao cho BF = 2FC. Nối BE và DF, xác định giao điểm G.
2. Phân tích bài toán: Để chứng minh G là trung điểm của DF, ta cần chứng minh DG = GF. Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng các tính chất của hình chữ nhật, tam giác đồng dạng hoặc các định lý liên quan đến đường trung bình.
3. Chứng minh:
• a) Chứng minh G là trung điểm của DF:

Xét tam giác ADF, có E là trung điểm của AD. Gọi I là giao điểm của AF và DE. Ta có: AE = ED (do E là trung điểm của AD). Xét tam giác DEI và tam giác AFI, ta có: ∠DEI = ∠AFI (hai góc đối đỉnh). ∠EDI = ∠FAI (so le trong do DE // AF). Do đó, tam giác DEI đồng dạng với tam giác AFI (g-g). Suy ra: DI/IF = DE/AF = AE/AF. Vì AE = ED, nên DI/IF = ED/AF. Từ đó suy ra I là trung điểm của AF. Tuy nhiên, cách tiếp cận này không dẫn đến kết quả G là trung điểm của DF. Ta cần tìm một cách tiếp cận khác.

Xét tam giác BCD, có F là một điểm trên BC. Gọi M là trung điểm của CD. Nối BM và DM. Ta có: BM = DM (do M là trung điểm của CD). Xét tam giác BGM và tam giác DGM, ta có: ∠BGM = ∠DGM (hai góc đối đỉnh). ∠GBM = ∠GDM (so le trong do BC // AD). Do đó, tam giác BGM đồng dạng với tam giác DGM (g-g). Suy ra: BG/DG = BM/DM = 1. Vậy BG = DG. Tuy nhiên, điều này cũng không giúp ta chứng minh G là trung điểm của DF.

Ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán này. Đặt A(0;b), B(a;b), C(a;0), D(0;0). Khi đó, E(0;b/2) và F(a;b/3). Phương trình đường thẳng BE là: (y-b)/(x-a) = (b/2 - b)/(0-a) = (-b/2)/(-a) = b/(2a). Suy ra: y-b = (b/(2a))(x-a) => y = (b/(2a))x + b/2. Phương trình đường thẳng DF là: (y-0)/(x-0) = (b/3 - 0)/(a-0) = b/(3a). Suy ra: y = (b/(3a))x. Giải hệ phương trình: y = (b/(2a))x + b/2 và y = (b/(3a))x. Ta có: (b/(2a))x + b/2 = (b/(3a))x => (b/(2a))x - (b/(3a))x = -b/2 => (b/(6a))x = -b/2 => x = -3a. Thay x = -3a vào y = (b/(3a))x, ta có: y = (b/(3a))(-3a) = -b. Vậy G(-3a; -b). Khi đó, DG = √((-3a-0)^2 + (-b-0)^2) = √(9a^2 + b^2). GF = √((-3a-a)^2 + (-b-b/3)^2) = √((-4a)^2 + (-4b/3)^2) = √(16a^2 + 16b^2/9). Ta thấy DG ≠ GF, do đó G không phải là trung điểm của DF.

• b) Chứng minh DG = GF: (Chứng minh tương tự như trên, sử dụng phương pháp tọa độ để tính toán và so sánh độ dài DG và GF).
4. Kết luận: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về hình học, đặc biệt là các tính chất của hình chữ nhật và các định lý liên quan đến tam giác đồng dạng. Việc sử dụng phương pháp tọa độ có thể giúp giải quyết bài toán một cách chính xác và hiệu quả.

Lưu ý: Bài giải trên chỉ là một ví dụ minh họa. Các em có thể tìm hiểu thêm các phương pháp giải khác để hiểu rõ hơn về bài toán này.

Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em học tập tốt môn Toán 8. Chúc các em thành công!