Bài 3. Tính chất đường phân giác trong của tam giác

Bài 3. Tính chất đường phân giác trong của tam giác - SGK Toán 8

1. Định nghĩa đường phân giác trong của tam giác

Trong một tam giác, đường phân giác trong là đoạn thẳng nối đỉnh của một góc với một điểm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

2. Tính chất đường phân giác trong của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác trong của tam giác được phát biểu như sau:

• Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Cụ thể, cho tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC (D nằm trên BC). Khi đó, ta có:

BD/CD = AB/AC

3. Chứng minh tính chất đường phân giác trong của tam giác

Để chứng minh tính chất này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Cụ thể:

1. Vẽ đường thẳng song song với AC qua điểm B, cắt AD tại E.
2. Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác ADC (góc BDE = góc DAC, góc DBE = góc DCA, góc BED = góc ACD).
3. Từ sự đồng dạng của hai tam giác, suy ra tỉ lệ: BD/AD = BE/AC
4. Tương tự, vẽ đường thẳng song song với AB qua điểm C, cắt AD tại F.
5. Chứng minh tam giác CDF đồng dạng với tam giác ABD (góc CDF = góc BAD, góc DCF = góc ABD, góc DFC = góc ADB).
6. Từ sự đồng dạng của hai tam giác, suy ra tỉ lệ: CD/AD = CF/AB
7. Chia hai tỉ lệ trên cho nhau, ta được: BD/CD = AB/AC

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác trong của tam giác

Tính chất đường phân giác trong của tam giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức và tam giác đồng dạng. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:

• Tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh của tam giác khi biết độ dài các cạnh còn lại và đường phân giác.
• Chứng minh hai tam giác đồng dạng dựa trên tính chất đường phân giác.
• Giải các bài toán thực tế liên quan đến việc chia tỉ lệ.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, AD là đường phân giác của góc BAC (D nằm trên BC) và BD = 4cm. Tính độ dài CD.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong của tam giác, ta có:

BD/CD = AB/AC

Thay số vào, ta được:

4/CD = 6/9

Suy ra: CD = (4 * 9) / 6 = 6cm

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác. Tính tỉ số AI/IE (E là chân đường phân giác từ A xuống BC).

Giải:

Ta có AE là đường phân giác của góc BAC. Theo tính chất đường phân giác, ta có:

BE/CE = AB/AC = 5/8

Vì BE + CE = BC = 7cm, ta có:

BE = (5/13) * 7 = 35/13 cm

CE = (8/13) * 7 = 56/13 cm

I là giao điểm các đường phân giác, nên I nằm trên AE. Theo tính chất đường phân giác, ta có:

AI/IE = (AB + AC) / BC = (5 + 8) / 7 = 13/7

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tính chất đường phân giác trong của tam giác, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập này trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online.

Chúc các em học tốt!