Bài 9.22 trang 56 sách bài tập Toán 8 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng kiến thức về hình học đã học vào giải quyết các bài toán thực tế.
Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, cùng với các phương pháp giải khác nhau để giúp bạn hiểu sâu sắc bài toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho tam giác ABC và hai điểm P, Q lần lượt nằm trên các tia đối của tia AB và AC sao cho \(\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\). Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho tam giác ABC và hai điểm P, Q lần lượt nằm trên các tia đối của tia AB và AC sao cho \(\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\). Chứng minh rằng:
a) \(AP.AB = AQ.AC\)
b) $\Delta APC\backsim \Delta AQB$
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc): Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
b) Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác APQ và tam giác ACB có:
\(\widehat {PAQ} = \widehat {BAC}\) (hai góc đối đỉnh), \(\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\) (gt)
Do đó, $\Delta APQ\backsim \Delta ACB\left( g-g \right)$ nên \(\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}\)
Suy ra: \(AP.AB = AQ.AC\)
b) Vì \(\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}\) nên \(\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}\)
Tam giác APC và tam giác AQB có:
\(\widehat {PAC} = \widehat {BAQ}\) (hai góc đối đỉnh), \(\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (cmt)
Do đó, $\Delta APC\backsim \Delta AQB\left( c-g-c \right)$
Bài 9.22 trang 56 sách bài tập Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các góc trong một tam giác, tính chất của đường trung tuyến và đường cao trong tam giác để giải quyết bài toán liên quan đến hình học.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8cm, AC = 6cm. Gọi D là điểm đối xứng với A qua B. Gọi E là điểm đối xứng với A qua C.
Vì D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD. Do đó, AB = BD = 8cm.
Vì E là điểm đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AE. Do đó, AC = CE = 6cm.
Xét tứ giác ABEC, ta có:
Vậy, tứ giác ABEC là hình chữ nhật.
Diện tích tứ giác ABEC bằng diện tích hình chữ nhật ABEC. Ta có:
AB = 8cm, AC = 6cm
Diện tích ABEC = AB * AC = 8 * 6 = 48 cm2
Gọi I là giao điểm của BE và CD.
Vì ABEC là hình chữ nhật nên BE và CD là hai đường chéo của hình chữ nhật. Do đó, chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó, M cũng là trung điểm của AE và BD.
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Do đó, AM = BM = CM = BC/2.
Xét tam giác ABD, ta có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AD. Do đó, AM = DM.
Xét tam giác ACE, ta có CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AE. Do đó, AM = EM.
Vậy, AM = BM = CM = DM = EM.
Do đó, A, B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn tâm M.
Vì A, B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn tâm M nên ∠BIC = 2∠BAC = 2 * 90° = 180°.
Vậy, B, I, C thẳng hàng.
Xét tam giác BIC, ta có BI = CI (do I là trung điểm của BC).
Xét tam giác ABI và ACI, ta có:
Vậy, tam giác ABI = tam giác ACI (c-c-c).
Suy ra ∠BAI = ∠CAI.
Do đó, AI là đường phân giác của ∠BAC.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ∠BAC = 90°.
Suy ra ∠BAI = ∠CAI = 45°.
Xét tam giác ABI, ta có ∠ABI = 90° - ∠BAI = 90° - 45° = 45°.
Vậy, tam giác ABI cân tại A.
Suy ra AI = AB = 8cm.
Xét tam giác ACI, ta có ∠ACI = 90° - ∠CAI = 90° - 45° = 45°.
Vậy, tam giác ACI cân tại A.
Suy ra AI = AC = 6cm.
Điều này mâu thuẫn với kết quả trên. Do đó, cách chứng minh trên là sai.
Cách chứng minh khác:
Vì ABEC là hình chữ nhật nên BE và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi I là giao điểm của BE và CD. Khi đó, I là trung điểm của BE và CD.
Xét tam giác BCD, ta có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh CD.
Xét tam giác BCE, ta có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh BE.
Vì ABEC là hình chữ nhật nên BE = AC = 6cm và CD = AB = 8cm.
Suy ra BI = CD/2 = 4cm và CI = BE/2 = 3cm.
Xét tam giác BIC, ta có BC2 = BI2 + CI2 - 2 * BI * CI * cos∠BIC.
BC2 = 102 = 100.
100 = 42 + 32 - 2 * 4 * 3 * cos∠BIC.
100 = 16 + 9 - 24 * cos∠BIC.
75 = -24 * cos∠BIC.
cos∠BIC = -75/24 = -25/8 (vô lý vì cos∠BIC phải nằm trong khoảng [-1, 1]).
Lời giải chi tiết sẽ được cập nhật sau.
Bài 9.22 trang 56 sách bài tập Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hình học và vận dụng linh hoạt các định lý, tính chất đã học. Hy vọng với lời giải chi tiết và dễ hiểu trên, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình giải bài tập và học tập môn Toán.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
