Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác - SBT Toán 8 - Kết nối tri thức

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với một điểm trên cạnh đối diện, chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Bài 17 trong sách bài tập Toán 8 - Kết nối tri thức tập trung vào việc khám phá và chứng minh một tính chất quan trọng liên quan đến đường phân giác của tam giác.

1. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của tam giác ABC là đoạn thẳng AD, với D nằm trên BC, sao cho ∠BAD = ∠CAD. Điểm D được gọi là điểm chia cạnh BC.

2. Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác được phát biểu như sau:

• Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.

Cụ thể, nếu AD là đường phân giác của góc BAC trong tam giác ABC, thì:

BD/CD = AB/AC

3. Chứng minh tính chất đường phân giác

Để chứng minh tính chất này, ta có thể sử dụng định lý Thales. Xét tam giác ABC với AD là đường phân giác. Kẻ đường thẳng song song với AB qua C, cắt AD tại E. Khi đó:

• ∠EAC = ∠BAD (so le trong)
• ∠ACE = ∠ABC (đồng vị)

Vì ∠EAC = ∠BAD và AD là đường phân giác nên ∠EAC = ∠CAD. Do đó, ∠CAD = ∠ACE, suy ra tam giác AEC cân tại E, tức là AE = EC.

Áp dụng định lý Thales vào tam giác BDE với CE song song BD, ta có:

BD/DE = BC/CE

Mà CE = AE, nên BD/DE = BC/AE. Tương tự, áp dụng định lý Thales vào tam giác ADC với BE song song AC, ta có:

CD/DE = AC/BE

Từ đó, ta có thể suy ra BD/CD = AB/AC.

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác

Tính chất đường phân giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỉ lệ thức. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:

• Tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh đối diện khi biết độ dài các cạnh kề và góc.
• Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
• Giải các bài toán thực tế liên quan đến việc chia tỉ lệ.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, và AD là đường phân giác của góc BAC (D thuộc BC). Tính BD và CD.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

BD/CD = AB/AC = 6/9 = 2/3

Suy ra BD = (2/5)BC và CD = (3/5)BC. Nếu biết độ dài BC, ta có thể tính được BD và CD.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tính chất đường phân giác, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập trong sách bài tập Toán 8 - Kết nối tri thức là một nguồn tài liệu hữu ích. Ngoài ra, các em có thể tìm kiếm thêm các bài tập trực tuyến hoặc tham khảo các tài liệu học tập khác.

7. Kết luận

Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc hiểu rõ và nắm vững tính chất này sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!