Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-1; -2) và D (6;5).

a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AE} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3 - 1;4 - 2) = (2;2)\) và \(\overrightarrow {CD} = (6 - ( - 1);5 - ( - 2)) = (7;7)\)

b) Dễ thấy: \((2;2) = \frac{2}{7}.(7;7)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{7}.\overrightarrow {CD} \)

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.

c) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = ( - 1 - 1; - 2 - 2) = ( - 2; - 4)\) và \(\overrightarrow {BE} = (a - 3;1 - 4) = (a - 3; - 3)\)

Để \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương thì \(\frac{{a - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 4}}\)\( \Leftrightarrow a - 3 = - \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\)

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) hay \(E\left( {\frac{3}{2};1} \right)\) thì hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương

d)

Cách 1:

Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \left( {\frac{3}{2} - 3; - 3} \right) = \left( { - \frac{3}{2}; - 3} \right)\) ; \(\overrightarrow {AC} = ( - 2; - 4)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BE} = \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Mà \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} \) (quy tắc cộng)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Cách 2:

Giả sử \(\overrightarrow {AE} = m\,.\,\overrightarrow {AB} + n\,.\,\overrightarrow {AC} \)(*)

Ta có: \(\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\), \(m\,.\,\overrightarrow {AB} = m\left( {2;2} \right) = (2m;2m)\), \(n\,.\,\overrightarrow {AC} = n( - 2; - 4) = ( - 2n; - 4n)\)

Do đó (*) \( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m;2m) + ( - 2n; - 4n)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m - 2n;2m - 4n)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} = 2m - 2n\\ - 1 = 2m - 4n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)