Giải bài 2.12 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Giải bài 2.12 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 2.12 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức thuộc chương 1: Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của chúng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học.

Đề bài bài 2.12 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.

1. Chứng minh rằng: \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}
2. Chứng minh rằng: \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}

Lời giải chi tiết bài 2.12 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

a) Chứng minh \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}

Vì ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}. M là trung điểm của BC nên \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.

Ta có: \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.

Vì N là giao điểm của AM và BD nên N thuộc AM và BD. Do đó, tồn tại số k sao cho \overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM} và \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN}.

Thay \overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM} vào \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN}, ta được: \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + k\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BA} + k(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}) = k\overrightarrow{AB} + \frac{k}{2}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = (k-1)\overrightarrow{AB} + \frac{k}{2}\overrightarrow{AD}.

Mặt khác, vì N thuộc BD nên \overrightarrow{BN} = t\overrightarrow{BD} với t là một số thực. Ta có \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}. Do đó, \overrightarrow{BN} = t(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = -t\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD}.

So sánh hai biểu thức của \overrightarrow{BN}, ta có hệ phương trình:

• k - 1 = -t
• \frac{k}{2} = t

Giải hệ phương trình này, ta được k = \frac{2}{3} và t = \frac{1}{3}. Vậy \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD} (đpcm).

b) Chứng minh \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}

Từ kết quả phần a, ta đã có k = \frac{2}{3}. Mà \overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM}. Do đó, \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} (đpcm).

Kết luận

Bài tập 2.12 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về việc ứng dụng các kiến thức về vectơ trong hình học. Việc hiểu rõ các tính chất của vectơ và cách sử dụng chúng để giải quyết các bài toán là rất quan trọng.

Các bài tập tương tự

• Bài 2.13 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
• Bài 2.14 trang 33 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Tài liệu tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
• Bài giảng Toán 10 – Kết nối tri thức