Bài 22. Ba đường conic

Bài 22. Ba đường conic - SGK Toán 10 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 22 trong sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 giới thiệu về ba đường conic quan trọng: elip, hypebol và parabol. Đây là những đường cong đặc biệt, có nhiều ứng dụng trong thực tế và là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.

1. Elip

Định nghĩa: Elip là tập hợp tất cả các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (gọi là tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a > 0).

Phương trình chính tắc: (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1 (với a > b > 0)

Các yếu tố của elip:

• Tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0), với c^2 = a^2 - b^2
• Trục lớn: 2a
• Trục nhỏ: 2b
• Độ dài tiêu cự: 2c
• Tâm sai: e = c/a

2. Hypebol

Định nghĩa: Hypebol là tập hợp tất cả các điểm M sao cho hiệu khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (gọi là tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a > 0).

Phương trình chính tắc: (x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1

Các yếu tố của hypebol:

• Tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0), với c^2 = a^2 + b^2
• Trục thực: 2a
• Trục ảo: 2b
• Độ dài tiêu cự: 2c
• Tâm sai: e = c/a
• Tiệm cận: y = ±(b/a)x

3. Parabol

Định nghĩa: Parabol là tập hợp tất cả các điểm M cách đều một điểm cố định F (gọi là tiêu điểm) và một đường thẳng cố định Δ (gọi là đường chuẩn).

Phương trình chính tắc: y^2 = 2px (với p > 0)

Các yếu tố của parabol:

• Tiêu điểm: F(p/2; 0)
• Đường chuẩn: x = -p/2
• Đỉnh: O(0; 0)
• Tham số tiêu: p

4. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Xác định các yếu tố của elip có phương trình (x^2 / 9) + (y^2 / 4) = 1.

Giải:

• a^2 = 9 => a = 3
• b^2 = 4 => b = 2
• c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5 => c = √5
• Tiêu điểm: F1(-√5; 0), F2(√5; 0)
• Trục lớn: 6
• Trục nhỏ: 4
• Độ dài tiêu cự: 2√5
• Tâm sai: e = √5 / 3

Ví dụ 2: Xác định các yếu tố của hypebol có phương trình (x^2 / 16) - (y^2 / 9) = 1.

Giải:

• a^2 = 16 => a = 4
• b^2 = 9 => b = 3
• c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25 => c = 5
• Tiêu điểm: F1(-5; 0), F2(5; 0)
• Trục thực: 8
• Trục ảo: 6
• Độ dài tiêu cự: 10
• Tâm sai: e = 5 / 4
• Tiệm cận: y = ±(3/4)x

5. Ứng dụng của ba đường conic

Ba đường conic có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Elip: Quỹ đạo của các hành tinh quanh Mặt Trời, thiết kế các vòm cầu.
• Hypebol: Định vị trong hàng hải, thiết kế các thấu kính.
• Parabol: Ăng-ten parabol, đèn pha ô tô.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về ba đường conic. Chúc các em học tốt!