Bài 11. Tích vô hướng của hai vecto

Bài 11 trong sách giáo khoa Toán 10 - Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào một khái niệm quan trọng trong hình học vectơ: tích vô hướng của hai vectơ. Hiểu rõ về tích vô hướng là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các ứng dụng trong hình học và vật lý.

1. Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a ⋅ b, được định nghĩa là:

a ⋅ b = |a| |b| cos(θ)

Trong đó:

• |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b (0 ≤ θ ≤ 180°).

Nếu hai vectơ vuông góc thì θ = 90° và cos(θ) = 0, do đó a ⋅ b = 0.

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong hệ tọa độ Oxy, nếu a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) thì:

a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂

3. Tính chất của tích vô hướng

• a ⋅ b = b ⋅ a (Tính giao hoán)
• a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (Tính phân phối đối với phép cộng vectơ)
• (ka) ⋅ b = k(a ⋅ b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• |a|² = a ⋅ a

4. Ứng dụng của tích vô hướng

• Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a| |b|)
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ:a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0
• Tính độ dài hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: |a|cos(θ) = (a ⋅ b) / |b|

5. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho hai vectơ a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính a ⋅ b.

Giải:a ⋅ b = (2)(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1

Bài 2: Cho hai vectơ a = (3; 4) và b = (-4; 3). Chứng minh rằng a ⊥ b.

Giải:a ⋅ b = (3)(-4) + (4)(3) = -12 + 12 = 0. Vì a ⋅ b = 0 nên a ⊥ b.

6. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về tích vô hướng, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập có thể tìm thấy trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán trực tuyến như toan9.edu.vn. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về khái niệm này và áp dụng nó một cách linh hoạt trong các bài toán thực tế.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về tích vô hướng của hai vectơ. Chúc các em học tập tốt!