Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

I. Khái niệm về tổng của hai vectơ

Trong mặt phẳng, cho hai vectơ a và b. Tổng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a + b, là một vectơ được xác định theo quy tắc hình bình hành. Cụ thể:

• Vẽ hình bình hành ABCD sao cho AB = a và AD = b.
• Khi đó, vectơ tổng a + b là vectơ AC.

Quy tắc tam giác cũng có thể được sử dụng để xác định tổng của hai vectơ. Nếu AB = a và BC = b, thì AC = a + b.

II. Tính chất của phép cộng vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

• Tính giao hoán:a + b = b + a
• Tính kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)
• Vectơ không:a + 0 = a
• Phần tử đối: Với mỗi vectơ a, tồn tại vectơ đối -a sao cho a + (-a) = 0

III. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ a và b, ký hiệu là a - b, được định nghĩa là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b. Tức là: a - b = a + (-b).

Về mặt hình học, hiệu a - b là vectơ AC, với AB = a và BC = b.

IV. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (-1; 1). Tính a + b và a - b.

Giải:

• a + b = (2 + (-1); 3 + 1) = (1; 4)
• a - b = (2 - (-1); 3 - 1) = (3; 2)

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA + MB = MA + MC.

Giải:

Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC. Do đó, MA + MB = MA + MC (điều phải chứng minh).

V. Kết luận

Bài học về tổng và hiệu của hai vectơ là nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững các khái niệm, tính chất và quy tắc thực hiện các phép toán vectơ sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!