Giải Bài 7.55 Trang 43 Sách Bài Tập Toán 11 - Kết Nối Tri Thức

Giải bài 7.55 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tại Toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan đến bài toán.

Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với trình độ của học sinh. Hãy cùng Toan9.edu.vn khám phá lời giải bài 7.55 này nhé!

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD\).

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD\).

a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt \(AMN.A'B'D'\).

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(A'B\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 7.55 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống 1

a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt \(AMN.A'B'D'\).

Áp dụng công thức \(V = \frac{1}{3} \cdot AA' \cdot \left( {{S_{AMN}} + {S_{A'B'D'}} + \sqrt {{S_{AMN}} \cdot {S_{A'B'D'}}} } \right)\)

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(A'B\).

Tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song song với đường thẳng còn lại: \(MN//\left( {A'BD} \right)\)
\(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {MN,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\)
Đặt \(h = d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\) thì \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} \Rightarrow \) \(h \Rightarrow \)\(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {MN,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\)

Vậy \(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Lời giải chi tiết

Giải bài 7.55 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống 2

a) Ta có:

\({S_{A'B'D'}} = \frac{{{a^2}}}{2};{S_{AMN}} = \frac{{{a^2}}}{8};{S_{ABCD}} = {a^2};AA' = a\), suy ra thể tích khối chóp cụt \(AMN \cdot A'B'D'\) là:

\(V = \frac{1}{3} \cdot AA' \cdot \left( {{S_{AMN}} + {S_{A'B'D'}} + \sqrt {{S_{AMN}} \cdot {S_{A'B'D'}}} } \right)\)

\( = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{a^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{a^2}}}{8} \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} } \right) = \frac{{7{a^3}}}{{24}}{\rm{.\;}}\)

b) Vì \(MN//BD\) nên \(MN//\left( {A'BD} \right)\), do đó:

\(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {MN,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right).\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\).

Đặt \(h = d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\) thì \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\), suy ra \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Giải bài 7.55 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng toán học. Bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Giải bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học. Bài toán này yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm về vectơ, phép toán vectơ và ứng dụng của chúng trong việc chứng minh các tính chất hình học.

Nội dung bài toán 7.55

Bài toán 7.55 thường có dạng như sau: Cho hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD là hình vuông. Xác định các vectơ biểu diễn các cạnh của hình chóp và sử dụng chúng để chứng minh một số tính chất liên quan đến các cạnh và mặt của hình chóp. Hoặc bài toán có thể yêu cầu tính độ dài của một đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, hoặc kiểm tra xem các vectơ có cùng phương hay không.

Phương pháp giải bài toán 7.55

Để giải bài toán 7.55 một cách hiệu quả, học sinh cần thực hiện các bước sau:

Xác định hệ tọa độ: Chọn một hệ tọa độ thích hợp trong không gian, thường là hệ tọa độ Oxyz, với gốc tọa độ O và các trục Ox, Oy, Oz.
Biểu diễn các vectơ: Biểu diễn các vectơ biểu diễn các cạnh của hình chóp theo các vectơ đơn vị i, j, k.
Sử dụng các phép toán vectơ: Sử dụng các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực, tích vô hướng, tích có hướng để giải quyết bài toán.
Kiểm tra kết quả: Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác và hợp lý.

Ví dụ minh họa giải bài 7.55

Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng vectơ SM vuông góc với vectơ AB.

Lời giải:

1. Chọn hệ tọa độ: Chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD, và trục Oz hướng lên trên.

2. Biểu diễn các vectơ:

A(0, 0, 0)
B(a, 0, 0)
C(a, a, 0)
D(0, a, 0)
M(a/2, a, 0)
S(a/2, a/2, h) (h là chiều cao của hình chóp)

Khi đó:

AB = (a, 0, 0)
SM = (0, -a/2, -h)

3. Tính tích vô hướng:

AB.SM = (a, 0, 0).(0, -a/2, -h) = 0

4. Kết luận: Vì tích vô hướng của hai vectơ AB và SM bằng 0, nên hai vectơ này vuông góc với nhau. Vậy, SM vuông góc với AB.

Các dạng bài tập tương tự và cách giải

Ngoài bài toán 7.55, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến vectơ trong không gian. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về:

Tính độ dài của vectơ
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Tính góc giữa hai vectơ
Kiểm tra xem các vectơ có cùng phương hay không

Để giải các bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức và định lý liên quan đến vectơ, đồng thời luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán.

Lưu ý khi giải bài toán về vectơ trong không gian

Luôn chọn hệ tọa độ thích hợp để đơn giản hóa bài toán.
Sử dụng các phép toán vectơ một cách chính xác và hiệu quả.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác và hợp lý.
Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán.

Tổng kết

Bài 7.55 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ trong không gian. Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà Toan9.edu.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự.