Bài 6. Cấp số cộng

Bài 6. Cấp số cộng - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng. Việc hiểu rõ khái niệm và các tính chất của cấp số cộng là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và chuỗi số.

1. Định nghĩa cấp số cộng

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:

• u_n+1 = u_n + d với mọi n ≥ 1

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng
• d là công sai của cấp số cộng
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm

3. Tính chất của cấp số cộng

Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng:

• Nếu u_n = u_m thì u_n+k = u_m+k với mọi số nguyên k
• Nếu u_n = u_m thì u_n+k = u_m+k

4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng S_n của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức:

S_n = (n/2) * (u₁ + u_n) = (n/2) * [2u₁ + (n - 1)d]

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng.

Giải:

Áp dụng công thức số hạng tổng quát, ta có:

u₁₀ = u₁ + (10 - 1)d = 2 + 9 * 3 = 29

Bài tập 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 5 và tổng của 10 số hạng đầu tiên là S₁₀ = 100. Tìm công sai d của cấp số cộng.

Giải:

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên, ta có:

S₁₀ = (10/2) * [2u₁ + (10 - 1)d] = 5 * (10 + 9d) = 100

Suy ra: 10 + 9d = 20

9d = 10

d = 10/9

6. Ứng dụng của cấp số cộng

Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính số tiền tiết kiệm hàng tháng theo lãi suất cố định
• Tính chiều dài các cạnh của một hình vuông hoặc hình chữ nhật khi tăng dần đều
• Tính số lượng sản phẩm được sản xuất mỗi năm khi tăng trưởng đều

7. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về cấp số cộng, các em nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập và các đề thi thử. Hãy tìm hiểu kỹ các dạng bài tập khác nhau và áp dụng các công thức đã học để giải quyết chúng.

Kết luận

Bài học về cấp số cộng là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Hy vọng rằng, với những kiến thức và bài tập đã trình bày, các em sẽ hiểu rõ hơn về cấp số cộng và có thể áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế. Chúc các em học tập tốt!