Bài 26. Khoảng cách

Bài 26. Khoảng cách - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải pháp chi tiết và đầy đủ

Bài 26 trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào việc tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian, bao gồm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Việc nắm vững các công thức và phương pháp giải quyết các bài toán này là rất quan trọng để hiểu sâu sắc về hình học không gian.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:

d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂, ta có thể thực hiện các bước sau:

• Tìm một điểm M thuộc d₁.
• Tìm một điểm N thuộc d₂.
• Tìm một vectơ chỉ phương của d₁ và d₂, gọi là a và b.
• Tính vectơ MN.
• Tính tích có hướng của a và b, gọi là n = [a, b].
• Khoảng cách giữa d₁ và d₂ là: d = |[MN, n]| / |n|

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P₁): Ax + By + Cz + D₁ = 0 và (P₂): Ax + By + Cz + D₂ = 0 được tính theo công thức:

d((P₁), (P₂)) = |D₂ - D₁| / √(A² + B² + C²)

II. Bài tập minh họa và giải chi tiết

Bài tập 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2, 3) đến mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.

Giải:

d(A, (P)) = |2(1) - 2 + 3 + 1| / √(2² + (-1)² + 1²) = |4| / √6 = 4/√6 = (4√6)/6 = (2√6)/3

Bài tập 2: Cho hai đường thẳng d₁: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d₂: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.

Giải:

• Chọn M(1, 2, 3) thuộc d₁ và N(2, 1, 4) thuộc d₂.
• Vectơ chỉ phương của d₁ là a = (1, -1, 2) và của d₂ là b = (-1, 1, -1).
• Vectơ MN = (2 - 1, 1 - 2, 4 - 3) = (1, -1, 1).
• Tích có hướng n = [a, b] = (1, -1, 0).
• Khoảng cách d = |[MN, n]| / |n| = |(1, -1, 1) x (1, -1, 0)| / |(1, -1, 0)| = |(-1, -1, 0)| / √2 = √2 / √2 = 1.

III. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để củng cố kiến thức về bài 26, các em có thể tự giải thêm các bài tập trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Ngoài ra, các em có thể tham khảo các bài giảng trực tuyến và các tài liệu học tập khác để hiểu sâu hơn về chủ đề này.

Toan9.edu.vn hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích và giúp các em tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách trong không gian. Chúc các em học tập tốt!